Integrale strano con i residui
Buonasera, devo risolvere il seguente integrale :
che apparentemente sembra semplice ma giungo ad un risultato errato anche se molto simile..Considero l'estensione :
integrando sulle due semicirconferenze (tenendo conto del fatto che per \(\displaystyle R\to\infty \) l'ìntegrale su \(\displaystyle \Gamma_R \to 0 \)) allora :
sommando membro a membro si ottiene :
i residui si calcolano abbastanza facilmente e valgono :
quindi alla fine si ottiene \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\;e^{i\;\frac{\pi}{8}} \;\left(1+i(1-\sqrt{2})\right) \) ma Mathematica mi da come risultato \(\displaystyle \frac{\pi}{2} sec\left(\frac{\pi}{8}\right) \). Ho provato anche a confrontare i risultati sempre su Mathematica ma mi dice che sono diversi..eppure mi sembra di non aver tralasciato nulla
[EDIT] Scusate per il post inutile..ho ricontrollato i segni e mi sono reso conto di aver inserito (più volte) un segno più al posto del meno e per questo non avevo corrispondenza..confermo che il risultato è corretto ed in particolare :
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1} dx \)
che apparentemente sembra semplice ma giungo ad un risultato errato anche se molto simile..Considero l'estensione :
\(\displaystyle f(z) = \frac{|z|^{\frac{1}{4}} \;e^{i \frac{arg(z)}{4}}}{z^2+1} \;\;\;\;\;\;\;\;in\;\;\;\;\mathbb{C}-\{\pm i\} \)
integrando sulle due semicirconferenze (tenendo conto del fatto che per \(\displaystyle R\to\infty \) l'ìntegrale su \(\displaystyle \Gamma_R \to 0 \)) allora :
\(\displaystyle \int_{+\partial T} f(z)\;dz = \int_{-\infty}^{0} \frac{|x|^{\frac{1}{4}} \; e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{|x|^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}dx = 2\pi\;i\;Res(f(z),i)\)
\(\displaystyle \int_{+\partial T^*} f(z)\;dz = - \int_{-\infty}^{0} \frac{|x|^{\frac{1}{4}} \; e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} dx - \int_{0}^{\infty} \frac{|x|^{\frac{1}{4}}\; e^{i \frac{\pi}{2}}}{x^2+1}dx = 2\pi\;i\;Res(f(z),-i)\)
sommando membro a membro si ottiene :
\(\displaystyle (1-i) \; \int_{0}^{\infty} \frac{|x|^{\frac{1}{4}}}{x^2+1} dx = 2\pi\;i \left[Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)\right] \)
i residui si calcolano abbastanza facilmente e valgono :
\(\displaystyle Res(f(z),i) = \frac{e^{i\;\frac{\pi}{8}}}{2i} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Res(f(z),-i) = -\frac{e^{i\;\frac{3\pi}{8}}}{2i} = - \frac{e^{i\;\frac{\pi}{8}}}{2i} \;\frac{\sqrt{2}}{2}\;(1+i) \)
quindi alla fine si ottiene \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\;e^{i\;\frac{\pi}{8}} \;\left(1+i(1-\sqrt{2})\right) \) ma Mathematica mi da come risultato \(\displaystyle \frac{\pi}{2} sec\left(\frac{\pi}{8}\right) \). Ho provato anche a confrontare i risultati sempre su Mathematica ma mi dice che sono diversi..eppure mi sembra di non aver tralasciato nulla
[EDIT] Scusate per il post inutile..ho ricontrollato i segni e mi sono reso conto di aver inserito (più volte) un segno più al posto del meno e per questo non avevo corrispondenza..confermo che il risultato è corretto ed in particolare :
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\;e^{i\;\frac{\pi}{8}} \;\left(1+i(1-\sqrt{2})\right) \equiv \frac{\pi}{2} sec\left(\frac{\pi}{8}\right) \)
Risposte
"Oiram92":
\(\displaystyle f(z) = \frac{|z|^{\frac{1}{4}} \;e^{i \frac{arg(z)}{4}}}{z^2+1} \;\;\;\;\;\;\;\;in\;\;\;\;\mathbb{C}-\{\pm i\} \)
Non puoi definire quella funzione in modo continuo su tutto il dominio: come minimo devi togliere una semiretta...
Posto $t^4=x$ hai:
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}\ \text{d} x = 4\ \int_0^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = 2\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t\; ,
\]
con l'ultimo integrale che si calcola facile.
Infatti, usando il solito armamentario di tecniche, hai:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = 2\pi\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \operatorname{Res} [f;\zeta_k]
\]
con \(f(z) = \frac{z^4}{z^8+1}\) e \(\zeta_k\) per $k=0,1,2,3$ sono le radici ottave di $-1$ che cadono nel semipiano delle parti immaginarie positive.
Dato che:
\[
\zeta_k= \mathbf{e}^{\mathbf{i} \frac{\pi (2k+1)}{8}}
\]
e che tali punti sono poli del primo ordine per la funzione razionale $f$ provenienti da zeri semplici del numeratore, hai:
\[
\operatorname{Res} [f;\zeta_k] = \frac{\zeta_k^4}{8\zeta_k^7} = \frac{1}{8\zeta_k^3}\; ,
\]
ergo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = \frac{\pi}{4}\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \frac{1}{\zeta_k^3}\; .
\]
Quindi:
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}\ \text{d} x = \frac{\pi}{2}\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \mathbf{e}^{\mathbf{i} \frac{-3\pi (2k+1)}{8}}\; .
\]
L'unica cosa che rimane da fare è semplificare l'ultimo membro.
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}\ \text{d} x = 4\ \int_0^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = 2\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t\; ,
\]
con l'ultimo integrale che si calcola facile.
Infatti, usando il solito armamentario di tecniche, hai:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = 2\pi\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \operatorname{Res} [f;\zeta_k]
\]
con \(f(z) = \frac{z^4}{z^8+1}\) e \(\zeta_k\) per $k=0,1,2,3$ sono le radici ottave di $-1$ che cadono nel semipiano delle parti immaginarie positive.
Dato che:
\[
\zeta_k= \mathbf{e}^{\mathbf{i} \frac{\pi (2k+1)}{8}}
\]
e che tali punti sono poli del primo ordine per la funzione razionale $f$ provenienti da zeri semplici del numeratore, hai:
\[
\operatorname{Res} [f;\zeta_k] = \frac{\zeta_k^4}{8\zeta_k^7} = \frac{1}{8\zeta_k^3}\; ,
\]
ergo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = \frac{\pi}{4}\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \frac{1}{\zeta_k^3}\; .
\]
Quindi:
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}\ \text{d} x = \frac{\pi}{2}\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \mathbf{e}^{\mathbf{i} \frac{-3\pi (2k+1)}{8}}\; .
\]
L'unica cosa che rimane da fare è semplificare l'ultimo membro.
Grazie ad entrambi per le risposte, ma quindi, nonostante il risultato che ottengo sia corretto, il metodo applicato è errato?
"Oiram92":
Grazie ad entrambi per le risposte, ma quindi, nonostante il risultato che ottengo sia corretto, il metodo applicato è errato?
Sì, ma "di poco": è sufficiente fare i conti sul semipiano superiore, quindi puoi togliere senza problemi la semiretta $\{ Re(z)=0, Im(z)<=0 \}$ (in modo da ottenere un dominio in cui $f$ è ben definita) e modificare leggermente il cammino in modo da evitare lo $0$. A questo punto, con lo stesso procedimento di prima, per $R \rightarrow +oo$ si ha:
$2 pi i * Res(f,i)=\int_{-R}^{-1/R} z^{1/4}/{z^2+1}dz-int_{Gamma_{1/R}} z^{1/4}/{z^2+1}dz+\int_{1/R}^R z^{1/4}/{z^2+1}dz+int_{Gamma_R} z^{1/4}/{z^2+1}dz$
ma gli integrali sulle semicirconferenze tendono a $0$, e dal primo puoi ricondurti al terzo ponendo $z=-w$ :
$pi e^{i pi/8}=-\int_R^{1/R} (-w)^{1/4}/{w^2+1} dw+\int_{1/R}^R z^{1/4}/{z^2+1}dz+o(1)=int_{1/R}^R (1+e^{i pi/4}) x^{1/4}/{x^2+1}dx+o(1)$
e passando al limite $\int_0^{+oo} x^{1/4}/{x^2+1}dx={pi e^{i pi/8}}/{1+e^{i pi/4}}=pi/{e^{i pi/8}+e^{-i pi/8}}=pi/{2 cos (pi/8)}$.
Innanzitutto ti ringrazio per l'ulteriore chiarimento 
effettivamente avevo inizialmente considerato soltanto la semicirconferenza superiore arrivando ad una forma simile alla tua però ho un segno meno a differenza tua. Credo di aver trovato il passaggio incriminato nel mio svolgimento. In pratica scrivevo :
però il secondo termine della catena di uguaglianze è errato vero? Ponendo \(\displaystyle z=-x \) e cambiando gli estremi di integrazione avrei avuto :
ed ecco che mi "salta fuori" quel \(\displaystyle \left(1+e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \) mentre io ottenevo \(\displaystyle \left(1-e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \) e quindi non tornavano i conti. Adesso è giusto come ho corretto no? Ottengo la tua stessa espressione quindi suppongo di si
effettivamente avevo inizialmente considerato soltanto la semicirconferenza superiore arrivando ad una forma simile alla tua però ho un segno meno a differenza tua. Credo di aver trovato il passaggio incriminato nel mio svolgimento. In pratica scrivevo :\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|-x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx = - \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{|x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx \)
però il secondo termine della catena di uguaglianze è errato vero? Ponendo \(\displaystyle z=-x \) e cambiando gli estremi di integrazione avrei avuto :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|-x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx = \int_{\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|z|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{z^2+1} \;dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{|z|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{z^2+1} \;dx \)
ed ecco che mi "salta fuori" quel \(\displaystyle \left(1+e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \) mentre io ottenevo \(\displaystyle \left(1-e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \) e quindi non tornavano i conti. Adesso è giusto come ho corretto no? Ottengo la tua stessa espressione quindi suppongo di si
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo