Integrale strano con i residui

[Oiram92]

Buonasera, devo risolvere il seguente integrale :

\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1} dx \)

che apparentemente sembra semplice ma giungo ad un risultato errato anche se molto simile..Considero l'estensione :

\(\displaystyle f(z) = \frac{|z|^{\frac{1}{4}} \;e^{i \frac{arg(z)}{4}}}{z^2+1} \;\;\;\;\;\;\;\;in\;\;\;\;\mathbb{C}-\{\pm i\} \)

integrando sulle due semicirconferenze (tenendo conto del fatto che per \(\displaystyle R\to\infty \) l'ìntegrale su \(\displaystyle \Gamma_R \to 0 \)) allora :

\(\displaystyle \int_{+\partial T} f(z)\;dz = \int_{-\infty}^{0} \frac{|x|^{\frac{1}{4}} \; e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{|x|^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}dx = 2\pi\;i\;Res(f(z),i)\)

\(\displaystyle \int_{+\partial T^*} f(z)\;dz = - \int_{-\infty}^{0} \frac{|x|^{\frac{1}{4}} \; e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} dx - \int_{0}^{\infty} \frac{|x|^{\frac{1}{4}}\; e^{i \frac{\pi}{2}}}{x^2+1}dx = 2\pi\;i\;Res(f(z),-i)\)

sommando membro a membro si ottiene :

\(\displaystyle (1-i) \; \int_{0}^{\infty} \frac{|x|^{\frac{1}{4}}}{x^2+1} dx = 2\pi\;i \left[Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)\right] \)

i residui si calcolano abbastanza facilmente e valgono :

\(\displaystyle Res(f(z),i) = \frac{e^{i\;\frac{\pi}{8}}}{2i} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Res(f(z),-i) = -\frac{e^{i\;\frac{3\pi}{8}}}{2i} = - \frac{e^{i\;\frac{\pi}{8}}}{2i} \;\frac{\sqrt{2}}{2}\;(1+i) \)

quindi alla fine si ottiene \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\;e^{i\;\frac{\pi}{8}} \;\left(1+i(1-\sqrt{2})\right) \) ma Mathematica mi da come risultato \(\displaystyle \frac{\pi}{2} sec\left(\frac{\pi}{8}\right) \). Ho provato anche a confrontare i risultati sempre su Mathematica ma mi dice che sono diversi..eppure mi sembra di non aver tralasciato nulla

[EDIT] Scusate per il post inutile..ho ricontrollato i segni e mi sono reso conto di aver inserito (più volte) un segno più al posto del meno e per questo non avevo corrispondenza..confermo che il risultato è corretto ed in particolare :

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\;e^{i\;\frac{\pi}{8}} \;\left(1+i(1-\sqrt{2})\right) \equiv \frac{\pi}{2} sec\left(\frac{\pi}{8}\right) \)

[spugna2]

"Oiram92":

\(\displaystyle f(z) = \frac{|z|^{\frac{1}{4}} \;e^{i \frac{arg(z)}{4}}}{z^2+1} \;\;\;\;\;\;\;\;in\;\;\;\;\mathbb{C}-\{\pm i\} \)

Non puoi definire quella funzione in modo continuo su tutto il dominio: come minimo devi togliere una semiretta...

[gugo82]

Posto $t^4=x$ hai:
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}\ \text{d} x = 4\ \int_0^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = 2\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t\; ,
\]
con l'ultimo integrale che si calcola facile.
Infatti, usando il solito armamentario di tecniche, hai:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = 2\pi\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \operatorname{Res} [f;\zeta_k]
\]
con \(f(z) = \frac{z^4}{z^8+1}\) e \(\zeta_k\) per $k=0,1,2,3$ sono le radici ottave di $-1$ che cadono nel semipiano delle parti immaginarie positive.
Dato che:
\[
\zeta_k= \mathbf{e}^{\mathbf{i} \frac{\pi (2k+1)}{8}}
\]
e che tali punti sono poli del primo ordine per la funzione razionale $f$ provenienti da zeri semplici del numeratore, hai:
\[
\operatorname{Res} [f;\zeta_k] = \frac{\zeta_k^4}{8\zeta_k^7} = \frac{1}{8\zeta_k^3}\; ,
\]
ergo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^4}{t^8+1}\ \text{d} t = \frac{\pi}{4}\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \frac{1}{\zeta_k^3}\; .
\]
Quindi:
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^2+1}\ \text{d} x = \frac{\pi}{2}\ \mathbf{i}\ \sum_{k=0,1,2,3} \mathbf{e}^{\mathbf{i} \frac{-3\pi (2k+1)}{8}}\; .
\]
L'unica cosa che rimane da fare è semplificare l'ultimo membro.

[Oiram92]

Grazie ad entrambi per le risposte, ma quindi, nonostante il risultato che ottengo sia corretto, il metodo applicato è errato?

[spugna2]

"Oiram92":Grazie ad entrambi per le risposte, ma quindi, nonostante il risultato che ottengo sia corretto, il metodo applicato è errato?

Sì, ma "di poco": è sufficiente fare i conti sul semipiano superiore, quindi puoi togliere senza problemi la semiretta $\{ Re(z)=0, Im(z)<=0 \}$ (in modo da ottenere un dominio in cui $f$ è ben definita) e modificare leggermente il cammino in modo da evitare lo $0$. A questo punto, con lo stesso procedimento di prima, per $R \rightarrow +oo$ si ha:

$2 pi i * Res(f,i)=\int_{-R}^{-1/R} z^{1/4}/{z^2+1}dz-int_{Gamma_{1/R}} z^{1/4}/{z^2+1}dz+\int_{1/R}^R z^{1/4}/{z^2+1}dz+int_{Gamma_R} z^{1/4}/{z^2+1}dz$

ma gli integrali sulle semicirconferenze tendono a $0$, e dal primo puoi ricondurti al terzo ponendo $z=-w$ :

$pi e^{i pi/8}=-\int_R^{1/R} (-w)^{1/4}/{w^2+1} dw+\int_{1/R}^R z^{1/4}/{z^2+1}dz+o(1)=int_{1/R}^R (1+e^{i pi/4}) x^{1/4}/{x^2+1}dx+o(1)$

e passando al limite $\int_0^{+oo} x^{1/4}/{x^2+1}dx={pi e^{i pi/8}}/{1+e^{i pi/4}}=pi/{e^{i pi/8}+e^{-i pi/8}}=pi/{2 cos (pi/8)}$.

[Oiram92]

Innanzitutto ti ringrazio per l'ulteriore chiarimento effettivamente avevo inizialmente considerato soltanto la semicirconferenza superiore arrivando ad una forma simile alla tua però ho un segno meno a differenza tua. Credo di aver trovato il passaggio incriminato nel mio svolgimento. In pratica scrivevo :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|-x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx = - \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{|x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx \)

però il secondo termine della catena di uguaglianze è errato vero? Ponendo \(\displaystyle z=-x \) e cambiando gli estremi di integrazione avrei avuto :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|-x|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{x^2+1} \;dx = \int_{\infty}^{0} \frac{\sqrt[4]{|z|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{z^2+1} \;dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{|z|}\;e^{i \frac{\pi}{4}}}{z^2+1} \;dx \)

ed ecco che mi "salta fuori" quel \(\displaystyle \left(1+e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \) mentre io ottenevo \(\displaystyle \left(1-e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \) e quindi non tornavano i conti. Adesso è giusto come ho corretto no? Ottengo la tua stessa espressione quindi suppongo di si