Integrale in R^n

[GuidoFretti1]

mi trovo davanti al seguente esercizio, di cui non riesco a capire come procedere.

data $u(x,t)=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$

calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$

è possibile calcolare esplicitamente questo integrale? Io onestamente non saprei come procedere e di conseguenza non so come trattare il limite.

qualcuno può darmi un aiuto?

grazie

[4131]

"Quinzio":[quote="413"] (la somma è sugli indici ripetuti).

Non usare la notazione di Einstein, non ti capisce se non ti spieghi bene.
Lo abbiamo gia' abbastanza confuso con tutto il resto. [/quote]
Ma è il corso di metodi, la notazione di Einstein è d'obbligo

[pilloeffe]

"Quinzio":Aspettavo l'arrivo di pilloeffe

Scusate, ero al mare...

"Quinzio":Credo che manchi il modulo di B all'esponente.
Nell'espansione di $|x−y|^2=|x|^2+|y|^2−2 $ c'e' da tenere conto di quel $|x|^2 $

Eh, come spesso accade hai ragione: non ho considerato tutte le costanti nella $A$ che moltiplica l'integrale riportato dall'OP... Ci riprovo, tanto il risultato dovrebbe cambiare solo per un fattore moltiplicativo... Partiamo dal testo iniziale con la $y$ al posto della $x$ che dovrebbe essere quello corretto:

$ u(x,t) = \int_(\RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4\pi t)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4\sigma))/(4\pi \sigma)^(n/2) d^n y $

Sostituendo $|x−y|^2=|x|^2+|y|^2− 2 \langle x,y \rangle $ si ha:

$ u(x,t) = \int_(\RR^n) e^(-(|x|^2+|y|^2− 2 \langle x,y \rangle)/(4t))/(4\pi t)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4\sigma))/(4\pi \sigma)^(n/2) d^n y = (e^(-|x|^2/(4t)))/((4\pi t)^(n/2) \cdot (4\pi \sigma)^(n/2)) \int_(\RR^n) e^(-1/2 (1/(2t) + 1/(2\sigma))|y|^2 + (\langle x,y \rangle)/(2t)) d^n y $

A questo punto $\vec B $, $\vec B^T $, $ \mathbf A $ e $\mathbf A^{-1} $ non cambiano rispetto a quanto già scritto nel mio post precedente; cambia invece il risultato perché è quello scritto nel mio post precedente moltiplicato per il termine $ e^(-|x|^2/(4t))$, per cui si ha:

$ u(x, t) = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} \cdot e^{\frac{\sigma}{4t(\sigma + t)} |x|^2} e^{-\frac {|x|^2}{4t}} = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} \cdot e^{\frac {\sigma - \sigma - t}{4t(\sigma + t)} |x|^2} = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} \cdot e^{-\frac {1}{4(\sigma + t)} |x|^2} $

come peraltro già scritto da Quinzio.
Resta confermato che si ha:

$\lim_{t \to -\sigma^+} u(x, t) = 0 $

[GuidoFretti1]

Grazie a tutti, sono curioso di vedere che approccio avrà, se lo corregge?, Il mio docente!

Diciamo che dopo 2 giorni, l'integrale non era poi cosi banale

[Quinzio]

"GuidoFretti":Grazie a tutti, sono curioso di vedere che approccio avrà, se lo corregge?, Il mio docente!

Diciamo che dopo 2 giorni, l'integrale non era poi cosi banale

Portati un tablet e fagli vedere questo thread, o mandagli il link.

[pilloeffe]

"Quinzio":Portati un tablet e fagli vedere questo thread, o mandagli il link.

Concordo.

"GuidoFretti":Diciamo che dopo 2 giorni, l'integrale non era poi cosi banale

Beh, ma se poi fosse banale noi come faremmo a divertirci a risolverlo...

[4131]

Per quanto riguarda l'integrale, trattandosi di un caso molto particolare[nota]La matrice associata al prodotto euclideo standard è la matrice identica.[/nota] di quello della formula di Wikipedia, ovvero per [tex]A=\lambda\mathbb{I}_n[/tex], il suo calcolo è effettivamente banale[nota]Una volta noto il trucco [/nota]: basta completare il quadrato all'esponente. Per alleggerire la notazione [tex]y^2:=\lVert y\rVert^2\equiv\langle y,y\rangle,\,x^2:=\lVert x \rVert^2\equiv\langle x,x\rangle[/tex].

[tex]\begin{align*}I&:=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{4t}\langle x-y,x-y\rangle}e^{-\frac{1}{4\sigma}\langle y,y\rangle}\,\mathrm{d}^ny\\\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}} e^{-\frac{x^2}{4t}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{4t}y^2}e^{-\frac{1}{4\sigma}y^2}e^{\frac{1}{2t}\langle x,y\rangle}\,\mathrm{d}^ny\end{align*}[/tex]

Possiamo completare il quadrato all'esponente, grazie alla simmetria del prodotto euclideo standard [tex]\langle\cdot,\cdot\rangle[/tex]; abbiamo che

[tex]\begin{align*}
&\phantom{{}=}-\frac{1}{4t}y^2-\frac{1}{4\sigma}y^2+\frac{1}{2t}\langle x,y\rangle\\
&=-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}\Big[y^2-\frac{2\sigma}{\sigma+ t}\langle x,y\rangle +\underbrace{\Big(\frac{\sigma}{\sigma+t}\Big)^2x^2-\Big(\frac{\sigma}{\sigma+t}\Big)^2x^2}_{=0}\Big]\\
&=-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}\Big[y^2-\frac{2\sigma}{\sigma+ t}\langle x,y\rangle +\Big(\frac{\sigma}{\sigma+t}\Big)^2x^2\Big]+\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2\\
&=-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}\big\langle y-\frac{\sigma}{\sigma+t}x,y-\frac{\sigma}{\sigma+t}x\big\rangle+\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2
\end{align*}[/tex]

per passare dalla prima alla seconda riga ho raccolto il coefficiente di [tex]y^2[/tex], ovvero [tex]-\frac{1}{4t}-\frac{1}{4\sigma}=-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}[/tex], mentre nella seconda ho sommato [tex]0[/tex]; l'integrale diventa

[tex]I=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}} e^{-\frac{x^2}{4t}}e^{\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}\big\lVert y-\frac{\sigma}{\sigma+t}x\big\rVert^2}\,\mathrm{d}^ny[/tex]

facciamo il cambio di variabili (il Jacobiano è [tex]1[/tex])

[tex]y_i\rightsquigarrow y_i-\frac{\sigma}{\sigma+t}x_i=:u_i,\quad i=1,\dots,n[/tex]

per ricondurci al prodotto di integrali gaussiani 1d; a questo punto il conto è banale

[tex]\begin{align*}I&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}} e^{-\frac{x^2}{4t}}e^{\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}\sum_iu_i^2}\,\mathrm{d}^nu\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}} e^{-\frac{x^2}{4t}}e^{\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2}\prod_i\int_{\mathbb{R}} e^{-\frac{\sigma+t}{4\sigma t}u_i^2}\,\mathrm{d}u_i\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}} e^{-\frac{x^2}{4t}}e^{\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2}\Big(\int_{\mathbb{R}} e^{-\frac12\frac{\sigma+t}{2\sigma t}s^2}\,\mathrm{d}s\Big)^n\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\frac{1}{(4\pi\sigma)^{n/2}} e^{-\frac{x^2}{4t}}e^{\frac{\sigma}{4t(\sigma+t)}x^2}\Big(\frac{2\sigma t}{\sigma+t}\Big)^{n/2}(2\pi)^{n/2}\\
&=\Big[\frac{1}{4\pi(\sigma+t)}\Big]^{n/2}e^{-\frac{1}{4(\sigma+t)}\sum_ix_i^2}.
\end{align*}[/tex]

Per quanto riguarda il calcolo del limite, il segno meno è corretto: puoi calcolare il limite (destro) per [tex]t\to-\sigma[/tex] di

[tex]u(x,\cdot)\colon(-\sigma,+\infty)\to\mathbb{R},\quad t\longmapsto \Big[\frac{1}{4\pi(\sigma+t)}\Big]^{n/2}e^{-\frac{1}{4(\sigma+t)}x^2}[/tex]

come fatto da pilloeffe; ma quel [tex]\forall t>0[/tex] nella consegna è fuorviante, per non dire sbagliato (visto che si riferisce all'integranda, non all'assegnazione), a mio parere.

[GuidoFretti1]

Mi ero perso il messaggio, adesso provo vedere.

Il docente mi ha risposto" appena ho tempo correggo l'esercizio"

[Quinzio]

"GuidoFretti":
Il docente mi ha risposto" appena ho tempo correggo l'esercizio"