Integrale in R^n
mi trovo davanti al seguente esercizio, di cui non riesco a capire come procedere.
data $u(x,t)=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
è possibile calcolare esplicitamente questo integrale? Io onestamente non saprei come procedere e di conseguenza non so come trattare il limite.
qualcuno può darmi un aiuto?
grazie
data $u(x,t)=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
è possibile calcolare esplicitamente questo integrale? Io onestamente non saprei come procedere e di conseguenza non so come trattare il limite.
qualcuno può darmi un aiuto?
grazie
Risposte
Se non ho capito male la scrittura, l'integrale è in $\text{d}^n y$ e perciò è praticamente tutto costante in $y$ tranne $\exp \left(-\frac{|x-y|^2}{4t}\right)$. Quindi forse con una sostituzione tipo $y=x+4tr$ si riconduce ad un integrale di una gaussiana generalizzato in $n$ dimensioni del tipo $\int_{\mathbb{R}^n} e^{-|r|^2} \text{d}^n r$ con qualche costante moltiplicativa davanti dipendente da $\sigma$, da $t$ e da $x$, che dovrebbe essere fattibile. Non ho fatto i conti comunque, magari aspetta anche altri pareri.
Onestamente ho capito il ragionamento, ma ponendo $y=x+4tr$ poi calcolo $dy=4t dr$ e sostuendo cerco di ricondurmi all'integrale di una gaussiana in $n$. Ma l'integrale della gaussiana, tralasciando costanti, poi non ricade ancora nel caso $n$ e come lo calcolo?
Attenzione, il differenziale $\text{d}^n y$ non si calcola così come hai fatto: $y$ è un vettore di $n$ componenti e quindi devi calcolare il determinante della matrice jacobiana associata al cambio di variabili.
Comunque, l'integrale $\int_{\mathbb{R}^n} e^{-|r|^2} \text{d}^n r$ credo si possa fare più o meno agevolmente passando in coordinate sferiche in $n$ dimensioni o con un trucchetto simile a quello per calcolarlo in una dimensione (ossia considerando il prodotto di $n$ integrali di una gaussiana in una variabile).
Comunque, l'integrale $\int_{\mathbb{R}^n} e^{-|r|^2} \text{d}^n r$ credo si possa fare più o meno agevolmente passando in coordinate sferiche in $n$ dimensioni o con un trucchetto simile a quello per calcolarlo in una dimensione (ossia considerando il prodotto di $n$ integrali di una gaussiana in una variabile).
Allora con i vettori mi trovo un po' in difficoltà: se $y=x+4tr$ , il Jacobiano come lo calcolo? Pensando $y_i=x_i + 4tr_i$ per ogni $i=1,...,n$? O meglio, le derivate che compongono la matrice rispetto a quali variabili dovrei farle?
Devo rivedere analisi 2 bene perché cosi il Jacobiano ora mi mette in difficoltà
Sul trucchetto invece si intendeva risolvere l'integrale in una dimensione e poi elevare il risultato alla $n$ ?
Devo rivedere analisi 2 bene perché cosi il Jacobiano ora mi mette in difficoltà
Sul trucchetto invece si intendeva risolvere l'integrale in una dimensione e poi elevare il risultato alla $n$ ?
Sicuro che l'integrale sia scritto bene?
Come nasce?
Oltre ai suggerimenti già dati, sei sicuro che $t -> -sigma?$
Mi pare un po' strano...
Come nasce?
Oltre ai suggerimenti già dati, sei sicuro che $t -> -sigma?$
Mi pare un po' strano...
L'integrale nasce da un problema fisico e dovrebbe far vedere che quel limite dovrebbe distinguersi in casi
"GuidoFretti":
L'integrale nasce da un problema fisico
Certo, l'avevo capito... Non poteva essere altrimenti.
E però, quale? E sei sicuro sia scritto bene?
"GuidoFretti":
[L'integrale] dovrebbe far vedere che quel limite dovrebbe distinguersi in casi
Non credo che l'integrale serva a far vedere questo, ma potrebbe forse pure essere. Potresti riportare il testo dell'esercizio?
Tuttavia, il punto è che il limite così com'è non ha alcun senso. Perché?
"gugo82":
[quote="GuidoFretti"]L'integrale nasce da un problema fisico
Certo, l'avevo capito... Non poteva essere altrimenti.
E però, quale? E sei sicuro sia scritto bene?
"GuidoFretti":
[L'integrale] dovrebbe far vedere che quel limite dovrebbe distinguersi in casi
Non credo che l'integrale serva a far vedere questo, ma potrebbe forse pure essere. Potresti riportare il testo dell'esercizio?
Tuttavia, il punto è che il limite così com'è non ha alcun senso. Perché?[/quote]
Ho ricontrollato il testo e forse ho trovato un errore:
$u(x,t)=(phi(t) ** g)(x)$ $:=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*g(y) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$
Ora per ipotesi $g(x)=e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)$
E dunque l'integrale da calcolare è:
$\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y$
Non so se il cambio $x$ con $y$ possa cambiare il risultato, tuttavia ora il testo di partenza è corretto e bisogna calcolare il limite di $u(x,t)$ per $t->-sigma$
Mmmm, appunto... Quello è proprio l'errore che mi aspettavo. E cambia il mondo.
Stai calcolando la convoluzione della soluzione fondamentale dell'equazione del calore in $RR^n$ con condizioni fisiche all'infinito (decadimento a zero) contro un termine noto gaussiano; questo -se ricordo bene- ti fornisce la soluzione dell'equazione con quel termine noto e le stesse condizioni.
L'integrale è brutto da calcolare con tecniche standard. Probabilmente può essere utile calcolare usando la trasformata di Fourier.
P.S.: Metodi Matematici?
Stai calcolando la convoluzione della soluzione fondamentale dell'equazione del calore in $RR^n$ con condizioni fisiche all'infinito (decadimento a zero) contro un termine noto gaussiano; questo -se ricordo bene- ti fornisce la soluzione dell'equazione con quel termine noto e le stesse condizioni.
L'integrale è brutto da calcolare con tecniche standard. Probabilmente può essere utile calcolare usando la trasformata di Fourier.
P.S.: Metodi Matematici?
Si, metodi matematici
Le serie di Fourier non le abbiamo fatte, e il professore ci ha detto che è possibile trovare esplicitamente la $u(x,t)$.
La sostituzione precedente $y=x+4tr$ non porta comunque a nulla? O come potrei fare?
P.S.: con l'errore di prima ero riuscito ad arrivare alla soluzione, ora cosi mi trovo in difficoltà
Le serie di Fourier non le abbiamo fatte, e il professore ci ha detto che è possibile trovare esplicitamente la $u(x,t)$.
La sostituzione precedente $y=x+4tr$ non porta comunque a nulla? O come potrei fare?
P.S.: con l'errore di prima ero riuscito ad arrivare alla soluzione, ora cosi mi trovo in difficoltà
Ciao GuidoFretti,
Se tieni presente che $|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2 x \cdot y $ dovresti riuscire a portare fuori dall'integrale tutto ciò che non è in $y$ ed ottenere un integrale gaussiano con in più un termine lineare che certo non è elementare, ma è fattibile, puoi dare un'occhiata ad esempio qui.
Se tieni presente che $|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2 x \cdot y $ dovresti riuscire a portare fuori dall'integrale tutto ciò che non è in $y$ ed ottenere un integrale gaussiano con in più un termine lineare che certo non è elementare, ma è fattibile, puoi dare un'occhiata ad esempio qui.
ciao, grazie della risposta!
purtroppo oggi e domani lavorando non riesco a fare bene i conti, lunedì provo tenendo conto del link che mi ha mandato. Penso siano degli integrali notevoli e il nostro scopo è quello di ricondurci a $n$ prodotti di integrali di funzione gaussiana in $RR$...ho capito bene?
Quindi la sostituzione precedente avendo sostituito $x$ con $y$ non va più bene se ho centrato il ragionamento.
immagino che $*$ sia il prodotto scalare no?
purtroppo oggi e domani lavorando non riesco a fare bene i conti, lunedì provo tenendo conto del link che mi ha mandato. Penso siano degli integrali notevoli e il nostro scopo è quello di ricondurci a $n$ prodotti di integrali di funzione gaussiana in $RR$...ho capito bene?
Quindi la sostituzione precedente avendo sostituito $x$ con $y$ non va più bene se ho centrato il ragionamento.
immagino che $*$ sia il prodotto scalare no?
"GuidoFretti":
immagino che ⋅ sia il prodotto scalare no?
Sì, esatto. Potresti anche trovarlo scritto nella forma $\langle x, y \rangle $
Una lista più completa di integrali di questo tipo è reperibile anche nel "See also" prima delle "References" della stessa pagina che ti ho già inviato qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory
"pilloeffe":
[quote="GuidoFretti"]immagino che ⋅ sia il prodotto scalare no?
Sì, esatto. Potresti anche trovarlo scritto nella forma $\langle x, y \rangle $
Una lista più completa di integrali di questo tipo è reperibile anche nel "See also" prima delle "References" della stessa pagina che ti ho già inviato qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory[/quote]
Ho provato a svolgere i conti, ma una volta arrivato a questo punto, anche con le tabelle non riesco a ricondurmi a nulla.
Chiamo $A$ tutte le costanti per semplicità.
$u(x,t)=A\int_(RR^n) e^(|y|^2(-1/(4t)-1/(4sigma))+(
Ma ora il calcolo di questo integrale con anche un prodotto scalare non so come affrontarlo.
Dove mi sto perdendo?
Grazie
Tra un po' finisco di mettere a posto una risposta completa, cosi' poi la puoi confrontare con la tua o con le altre. 
E' un po' lunghina, serve tempo.
E' un po' lunghina, serve tempo.
Metto questa soluzione che sicuramente e' prolissa e lunga, ma almeno, spero, ha il pregio di essere comprensibile e di evitare l'uso di matrici e vettori come esponenti, cosa che non sempre puo' essere facilmente compresa e applicata.
Il link riportato da pilloeffe e' sicuramente una delle strade da seguire e ho preso ispirazione da quella.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_ ... inear_term
Ora, se ho inteso bene l'integrale e' questo:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} \frac {e^\frac {-|x-y|^2}{4t}} {(4\pi t)^\frac{n}{2}} \frac {e^\frac {-|y|^2}{4\sigma}} {(4\pi \sigma)^\frac{n}{2}} \ d^n y \]
e si possono portare fuori le costanti in modo da fare un po' di pulizia.
\[ \frac{1}{{(4\pi t)^\frac{n}{2} (4\pi \sigma)^\frac{n}{2} } } \int_{\mathbb{R}^n} e^\frac {-|x-y|^2}{4t} e^\frac {-|y|^2}{4\sigma} \ d^n y \]
Delle costanti ce ne dimentichiamo per adesso, per focalizzarci sull'integrale, e si rimane con:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^\frac {-|x-y|^2}{4t} e^\frac {-|y|^2}{4\sigma} \ d^n y \]
Quindi direi di fare ancora pulizia usando due costanti $A$ e $B$. Va da se che le costanti devono far convergere l'integrale, ma adesso non ce ne preoccupiamo. Compattando il piu' possibile la scrittura:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-A|x-y|^2} e^{-B|y|^2} \ d^n y = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-A|x-y|^2 - B|y|^2} \ d^n y\]
Ora, per semplificare ulteriormente, applichiamo una rotazione degli assi.
Gli assi cartesiani si possono liberamente ruotare, senza riscalare, siccome l'integrale e' su tutto $\RR^n$.
Il determinante dello jacobiano rimane 1 e la metrica non cambia, quindi la scrittura rimane sostanzialmente la stessa.
Lo scopo della rotazione e' di portare il vettore
$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$ nella forma $\tilde x = (||x||, 0, 0, ..., 0)$
Applichiamo quindi la rotazione, e teniamo i simboli cosi' come sono senza la tilda, per non appesantire la scrittura. La sostanza non cambia.
Quindi prendiamo lo scalare $A|x-y|^2 + B|y|^2$ e lo esplicitiamo:
$$
\begin{aligned}
A|y-x|^2 + B|y|^2 = \\
& = A( (y_1 -||x||)^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 ) + B( y_1 ^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 ) \\
& = A( ||x||^2 + 2||x||y_1+ y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 ) + B( y_1 ^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 )
\end{aligned}
$$
Ora il termine $||x||^2$ e' una costante, mentre invece bisogna trovare il modo di liberarsi del termine lineare $||x||y_1$.
Si trova il modo di farlo attraverso un' opportuna traslazione dell'asse 1 (quello della coordinata $y_1$, ovviamente).
Di nuovo il determinante dello jacobiano e' 1, l'integrale e' su tutto lo spazio e la metrica non cambia, quindi non c'e' bisogno di preoccuparsi dell'integrale.
Quello che facciamo in pratica e' di spostare l'origine in un punto intermedio lungo il "segmento" che va dall'origine attuale a $x$.
Quindi applichiamo $y_1 \to (y_1 + k)$ e ci concentriamo su
$$ A( (y_1 -||x||)^2 + ... ) + B( y_1 ^2 + ...)$$
che diventa (1)
$$ A( (y_1 -(||x||-k))^2 + ... ) + B( (y_1 + k)^2 + ...) = \\
= A( (y_1^2 -2(||x||-k)y_1 + (||x||-k)^2 + ... ) + B( y_1^2 + 2ky_1 + k^2 + ...) $$
Bisogna quindi azzerare i termini lineari e determinare $k$
$-2A(||x||-k)y_1 + 2Bky_1 = 0$
$-A(||x||-k) + Bk = 0$
$ k = (A||x||)/(A+B)$
Riprendiamo la (1) e la risistemiamo evidenziando le costanti.
$$ A( (y_1 -(||x||-k))^2 + ... ) + B( (y_1 + k)^2 + ...) = \\
= A( (y_1^2 -2(||x||-k)y_1 + (||x||-k)^2 + ... ) + B( y_1^2 + 2ky_1 + k^2 + ...) = \\
= \frac{2AB }{A+B} ||x||^2 + (A+B) |y|^2
$$
Ora bisogna notare che il termina sinistra $\frac{2AB }{A+B} ||x||^2$ non dipende dalla variabile d'integrazione $y$ e puo' uscire dall'integrale.
Ritorniamo quindi all'integrale:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-A|x-y|^2 - B|y|^2} \ d^n y\]
che possiamo riscrivere quindi come:
\[ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-(A + B)|y|^2} \ d^n y\]
Di nuovo ci dimentichiamo temporaneamente della costante fuori dall'integrale e prendiamo:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-(A + B)|y|^2} \ d^n y\]
Applichiamo un riscalamento uniforme degli assi da $y_k\sqrt(A+B)$ a $y_k$ e questa volta teniamo conto dello jacobiano.
\[ \frac{1}{(A+B)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|y|^2} \ d^n y\]
Finalmente abbiamo un integrale relativamente semplice da valutare.
Usando dei risultati gia' noti
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|y|^2} \ d^n y = \sqrt{\pi^n}\]
Ricordandoci di quello che abbiamo volutamente abbandonato per strada:
$ \int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y = \frac{1}{(4\pi t)^\frac{n}{2} (4\pi \sigma)^\frac{n}{2} } \ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} \frac{1}{(A+B)^{n/2}} \sqrt{\pi^n} $
Tenendo conto che $A = 1/(4 t)$ e $B = 1/(4 \sigma)$
$ \int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y = \frac{(AB)^\frac{n}{2}}{\pi^n } \ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} \frac{1}{(A+B)^{n/2}} \sqrt{\pi^n} $
Semplificando ancora
$ \int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y = \frac{1}{\sqrt {\pi^n }} \ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} (\frac{AB}{A+B})^\frac{n}{2} $
Il link riportato da pilloeffe e' sicuramente una delle strade da seguire e ho preso ispirazione da quella.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_ ... inear_term
Ora, se ho inteso bene l'integrale e' questo:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} \frac {e^\frac {-|x-y|^2}{4t}} {(4\pi t)^\frac{n}{2}} \frac {e^\frac {-|y|^2}{4\sigma}} {(4\pi \sigma)^\frac{n}{2}} \ d^n y \]
e si possono portare fuori le costanti in modo da fare un po' di pulizia.
\[ \frac{1}{{(4\pi t)^\frac{n}{2} (4\pi \sigma)^\frac{n}{2} } } \int_{\mathbb{R}^n} e^\frac {-|x-y|^2}{4t} e^\frac {-|y|^2}{4\sigma} \ d^n y \]
Delle costanti ce ne dimentichiamo per adesso, per focalizzarci sull'integrale, e si rimane con:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^\frac {-|x-y|^2}{4t} e^\frac {-|y|^2}{4\sigma} \ d^n y \]
Quindi direi di fare ancora pulizia usando due costanti $A$ e $B$. Va da se che le costanti devono far convergere l'integrale, ma adesso non ce ne preoccupiamo. Compattando il piu' possibile la scrittura:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-A|x-y|^2} e^{-B|y|^2} \ d^n y = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-A|x-y|^2 - B|y|^2} \ d^n y\]
Ora, per semplificare ulteriormente, applichiamo una rotazione degli assi.
Gli assi cartesiani si possono liberamente ruotare, senza riscalare, siccome l'integrale e' su tutto $\RR^n$.
Il determinante dello jacobiano rimane 1 e la metrica non cambia, quindi la scrittura rimane sostanzialmente la stessa.
Lo scopo della rotazione e' di portare il vettore
$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$ nella forma $\tilde x = (||x||, 0, 0, ..., 0)$
Applichiamo quindi la rotazione, e teniamo i simboli cosi' come sono senza la tilda, per non appesantire la scrittura. La sostanza non cambia.
Quindi prendiamo lo scalare $A|x-y|^2 + B|y|^2$ e lo esplicitiamo:
$$
\begin{aligned}
A|y-x|^2 + B|y|^2 = \\
& = A( (y_1 -||x||)^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 ) + B( y_1 ^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 ) \\
& = A( ||x||^2 + 2||x||y_1+ y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 ) + B( y_1 ^2 + y_2^2 + ... + y_n^2 )
\end{aligned}
$$
Ora il termine $||x||^2$ e' una costante, mentre invece bisogna trovare il modo di liberarsi del termine lineare $||x||y_1$.
Si trova il modo di farlo attraverso un' opportuna traslazione dell'asse 1 (quello della coordinata $y_1$, ovviamente).
Di nuovo il determinante dello jacobiano e' 1, l'integrale e' su tutto lo spazio e la metrica non cambia, quindi non c'e' bisogno di preoccuparsi dell'integrale.
Quello che facciamo in pratica e' di spostare l'origine in un punto intermedio lungo il "segmento" che va dall'origine attuale a $x$.
Quindi applichiamo $y_1 \to (y_1 + k)$ e ci concentriamo su
$$ A( (y_1 -||x||)^2 + ... ) + B( y_1 ^2 + ...)$$
che diventa (1)
$$ A( (y_1 -(||x||-k))^2 + ... ) + B( (y_1 + k)^2 + ...) = \\
= A( (y_1^2 -2(||x||-k)y_1 + (||x||-k)^2 + ... ) + B( y_1^2 + 2ky_1 + k^2 + ...) $$
Bisogna quindi azzerare i termini lineari e determinare $k$
$-2A(||x||-k)y_1 + 2Bky_1 = 0$
$-A(||x||-k) + Bk = 0$
$ k = (A||x||)/(A+B)$
Riprendiamo la (1) e la risistemiamo evidenziando le costanti.
$$ A( (y_1 -(||x||-k))^2 + ... ) + B( (y_1 + k)^2 + ...) = \\
= A( (y_1^2 -2(||x||-k)y_1 + (||x||-k)^2 + ... ) + B( y_1^2 + 2ky_1 + k^2 + ...) = \\
= \frac{2AB }{A+B} ||x||^2 + (A+B) |y|^2
$$
Ora bisogna notare che il termina sinistra $\frac{2AB }{A+B} ||x||^2$ non dipende dalla variabile d'integrazione $y$ e puo' uscire dall'integrale.
Ritorniamo quindi all'integrale:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-A|x-y|^2 - B|y|^2} \ d^n y\]
che possiamo riscrivere quindi come:
\[ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-(A + B)|y|^2} \ d^n y\]
Di nuovo ci dimentichiamo temporaneamente della costante fuori dall'integrale e prendiamo:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-(A + B)|y|^2} \ d^n y\]
Applichiamo un riscalamento uniforme degli assi da $y_k\sqrt(A+B)$ a $y_k$ e questa volta teniamo conto dello jacobiano.
\[ \frac{1}{(A+B)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|y|^2} \ d^n y\]
Finalmente abbiamo un integrale relativamente semplice da valutare.
Usando dei risultati gia' noti
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|y|^2} \ d^n y = \sqrt{\pi^n}\]
Ricordandoci di quello che abbiamo volutamente abbandonato per strada:
$ \int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y = \frac{1}{(4\pi t)^\frac{n}{2} (4\pi \sigma)^\frac{n}{2} } \ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} \frac{1}{(A+B)^{n/2}} \sqrt{\pi^n} $
Tenendo conto che $A = 1/(4 t)$ e $B = 1/(4 \sigma)$
$ \int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y = \frac{(AB)^\frac{n}{2}}{\pi^n } \ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} \frac{1}{(A+B)^{n/2}} \sqrt{\pi^n} $
Semplificando ancora
$ \int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|y|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2)(d^n)_y = \frac{1}{\sqrt {\pi^n }} \ e^{-\frac{2AB }{A+B} ||x||^2} (\frac{AB}{A+B})^\frac{n}{2} $
$$ \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}} $$
La formula qui sopra e' quella del link di pilloeffe.
Se vuoi applicare questa, devi tenere conto che:
- quello che loro chiamano $x$ e' "la nostra" $y$.
- nel nostro caso la matrice $A$ e' una matrice diagonale che come prima idea e' una matrice diagonale con gli elementi tutti a 2.
Ovvero $A = 2 I $.
$I $: matrice identita'.
- per noi il vettore $B$ e' la $x$ della nostra formula.
- bisogna fare attenzione a fattori e riscalamenti, specialmente a quel $1/2$ che compare all'esponente.
- il fattore costante e' stato omesso in Wikipedia per semplicita', quindi bisogna capire che c'e' anche un termine costante che poi esce immediatamente dall'integrale.
Con un po' di tempo e calma, ti faccio vedere anche la soluzione con questa formula.
Se lo vuol fare qualcun altro, ben venga.
La formula qui sopra e' quella del link di pilloeffe.
Se vuoi applicare questa, devi tenere conto che:
- quello che loro chiamano $x$ e' "la nostra" $y$.
- nel nostro caso la matrice $A$ e' una matrice diagonale che come prima idea e' una matrice diagonale con gli elementi tutti a 2.
Ovvero $A = 2 I $.
$I $: matrice identita'.
- per noi il vettore $B$ e' la $x$ della nostra formula.
- bisogna fare attenzione a fattori e riscalamenti, specialmente a quel $1/2$ che compare all'esponente.
- il fattore costante e' stato omesso in Wikipedia per semplicita', quindi bisogna capire che c'e' anche un termine costante che poi esce immediatamente dall'integrale.
Con un po' di tempo e calma, ti faccio vedere anche la soluzione con questa formula.
Se lo vuol fare qualcun altro, ben venga.
Grazie mille, capisco che il primo metodo non è per nulla scontato e anzi richiede molto ragionamento!
Anche il secondo metodo non scherza, quindi presumo che il mio docente abbia "esagerato" quando ha detto che si poteva calcolare agilmente, soprattutto senza Fourier.
O sbaglio io?
Anche il secondo metodo non scherza, quindi presumo che il mio docente abbia "esagerato" quando ha detto che si poteva calcolare agilmente, soprattutto senza Fourier.
O sbaglio io?
"GuidoFretti":
Anche il secondo metodo non scherza, quindi presumo che il mio docente abbia "esagerato" quando ha detto che si poteva calcolare agilmente, soprattutto senza Fourier.
I docenti universitari esagerano sempre da questo punto di vista: sono passati più di 25 anni, ma mi ricordo distintamente dei "si dimostra facilmente che..." seguiti da due/tre pagine di calcoli assurdi...
Ti ha già risposto molto dettagliatamente Quinzio, perciò non tornerò sullo svolgimento.
"GuidoFretti":
Ma ora il calcolo di questo integrale con anche un prodotto scalare non so come affrontarlo.
Questo però è grave: se stai preparando Metodi Matematici della Fisica, un prodotto scalare come $(\langle x, y \rangle)/(2t) = 1/(2t) \sum_{i=1}^n x_i y_i $ non dovrebbe spaventarti e dovresti riuscire a ricondurlo facilmente all'espressione $ \sum_{i=1}^n B_i x_i $ che compare nella formula, che nel tuo caso poi sarebbe $ \sum_{i=1}^n B_i y_i $
Discorso analogo per il termine $ e^{|y|^2 (-1/(4t)-1/(4\sigma))} = e^{- 1/2 |y|^2 (1/(2t)+1/(2\sigma))} $, che non dovresti avere problemi a ricondurre al termine $ e^{-1/2 \sum_{i,j=1}^n A_{ij} x_i x_j $ che nel tuo caso poi sarebbe $ e^{-1/2 \sum_{i,j=1}^n A_{ij} y_i y_j $
"GuidoFretti":
Grazie mille, capisco che il primo metodo non è per nulla scontato e anzi richiede molto ragionamento!
Anche il secondo metodo non scherza, quindi presumo che il mio docente abbia "esagerato" quando ha detto che si poteva calcolare agilmente, soprattutto senza Fourier.
O sbaglio io?
No, non ti sbagli.
Serve una buona dose di masochismo per arrivarci in fondo.
Non sono sicuro, ma penso che il vostro prof abbia un po' bluffato, nel senso che ha visto da qualche parte la soluzione dell'integrale (sa che esiste), senza ricordarsi o senza aver visto lo svolgimento, e vi abbia lanciato la sfida "Risolvetelo voi".
Soprattutto ci sono quei fattori $t$ e $\sigma$ che danno parecchio noia e bisogna trovare il modo a tutti i costi di buttarle fuori dall'integrale.
Poi bisogna trovare il modo di trattare quella specie di convoluzione $x-y$.
Anche il modo di pilloeffe funziona, anzi forse e' piu' semplice e arrivati a un certo punto, e' la stessa cosa del mio modo.
La pagina di Wikipedia ti da una formula preconfezionata, molto generale, con quella matrice e quel vettore.
E' molto compatta, a patto di saperla usare e di capirla, cosa non banale e scontata.
Fourier onestamente non credo che aiuti piu' di tanto.
Sembra promettente perche' la trasformata di una gaussiana e' una gaussiana e la convoluzione diventa un prodotto.
Ci daro' un occhiata
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