Integrale in R^n
mi trovo davanti al seguente esercizio, di cui non riesco a capire come procedere.
data $u(x,t)=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
è possibile calcolare esplicitamente questo integrale? Io onestamente non saprei come procedere e di conseguenza non so come trattare il limite.
qualcuno può darmi un aiuto?
grazie
data $u(x,t)=\int_(RR^n) e^(-|x-y|^2/(4t))/(4pit)^(n/2)*e^(-|x|^2/(4sigma))/(4pisigma)^(n/2) (d^n)_y$ , $sigma >0$, $AAt >0$
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
è possibile calcolare esplicitamente questo integrale? Io onestamente non saprei come procedere e di conseguenza non so come trattare il limite.
qualcuno può darmi un aiuto?
grazie
Risposte
"GuidoFretti":
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
Poi c'e' anche da capire il senso di questa domanda.
Come cercava di farti notare gugo82 c'e' un problema con quel limite perche' poi l'integrale non converge.
Al massimo la domanda sarebbe $ t \to \sigma $, senza il meno.
Ma non e' che si arriva a qualcosa di speciale, ovvero la formula finale si semplifica ancora di piu', ma e' tutto qui.
Ammetto che integrali con prodotti scalari non ne ho mai visto uno in tutto il mio percorso universitario.
Tuttavia mi serve farli perché come qui sono fondamentali: dove posso trovare del materiale?
Più che altro perché non avrei idea su come trovare le matrice $A$ e $B$ avendo anche poi i termini $1/(2t)+1/(2sigma)$ e $1/(2t)$
Tuttavia mi serve farli perché come qui sono fondamentali: dove posso trovare del materiale?
Più che altro perché non avrei idea su come trovare le matrice $A$ e $B$ avendo anche poi i termini $1/(2t)+1/(2sigma)$ e $1/(2t)$
"Quinzio":
[quote="GuidoFretti"]
calcolare $lim_(t-> -sigma) u(x,t)$
Poi c'e' anche da capire il senso di questa domanda.
Come cercava di farti notare gugo82 c'e' un problema con quel limite perche' poi l'integrale non converge.
Al massimo la domanda sarebbe $ t \to \sigma $, senza il meno.
Ma non e' che si arriva a qualcosa di speciale, ovvero la formula finale si semplifica ancora di piu', ma e' tutto qui.[/quote]
Vedendo anche il resto dell'esercizio, penso che il $-$ sia un errore
"GuidoFretti":
Più che altro perché non avrei idea su come trovare le matrice $A$ e $B$ avendo anche poi i termini $1/(2t)+1/(2\sigma)$ e $ 1/(2t) $
"Quinzio":
Se lo vuol fare qualcun altro, ben venga.
Ci provo, anche perché onestamente non mi pare infattibile...
Riscriviamo la formula che ha già riportato Quinzio con $y$ al posto di $x $:
[tex]\int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i} d^n y=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {y}}^T \mathbf {A} {\vec {y}}+{\vec {B}}^T {\vec {y}}} d^n y = {\sqrt {\frac {(2\pi )^n}{\det{A}}}} e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^T \mathbf {A}^{-1}{\vec {B}}}[/tex]
Mi sembra evidente che $ B_i = x_i/(2t) $ o, se si preferisce, il vettore colonna
\begin{equation*}
\vec {B} = \left[
\begin{array}{ccc}
\frac {x_1}{2t} \\
\frac {x_2}{2t} \\
\vdots \\
\frac {x_n}{2t}
\end{array} \right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec {B}^T = \left[
\begin{array}{ccc}
\frac {x_1}{2t}, \frac {x_2}{2t}, ... , \frac {x_n}{2t}
\end{array} \right]
\end{equation*}
Poi ovviamente
\begin{equation*}
\vec {y} = \left[
\begin{array}{ccc}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array} \right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec {y}^T = \left[
\begin{array}{ccc}
y_1, y_2, ... , y_n
\end{array} \right]
\end{equation*}
Per quanto riguarda la matrice $\mathbf {A}$:
[tex]\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma} & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & \frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma} & 0 & ... & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\
0 & 0 & 0 & ... & \frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma}
\end{bmatrix} \implies \text{det} \mathbf{A} = \bigg(\frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma}\bigg)^n = \bigg(\frac{\sigma + t}{2\sigma t}\bigg)^n[/tex]
Dato che deve essere $\mathbf{A} \mathbf{A}^{- 1} = \mathbf{I} $ si ha:
[tex]\mathbf{A}^{- 1} = \begin{bmatrix}
\frac{2 \sigma t}{\sigma + t} & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & \frac{2 \sigma t}{\sigma + t} & 0 & ... & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\
0 & 0 & 0 & ... & \frac{2 \sigma t}{\sigma + t}
\end{bmatrix} \implies \text{det} \mathbf{A}^{-1} = \bigg(\frac{2 \sigma t}{\sigma + t}\bigg)^n[/tex]
Perciò in definitiva mi risulta:
[tex]u(x, t) = \frac{1}{{(4\pi t)^\frac{n}{2} (4\pi \sigma)^\frac{n}{2}}} {\sqrt {\frac {(2\pi )^n}{\big( \frac{\sigma + t}{2\sigma t}\big)^n}}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2} = \frac{1}{{4^n \pi^n t^\frac{n}{2} \sigma^\frac{n}{2}}} {\frac {2^\frac{n}{2}\pi^\frac{n}{2}}{\big(\frac{\sigma + t}{2\sigma t}\big)^\frac{n}{2}}} e^{{\frac{\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2} = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2}[/tex]
A questo punto si ha:
$\lim_{t \to -\sigma^+} u(x, t) = 0 $
"pilloeffe":
[tex]\int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i } d^n y[/tex]
Credo che manchi il modulo di B all'esponente.
Nell'espansione di $|x-y|^2 = |x|^2+ |y|^2 - 2
"pilloeffe":
[quote="GuidoFretti"]Più che altro perché non avrei idea su come trovare le matrice $A$ e $B$ avendo anche poi i termini $1/(2t)+1/(2\sigma)$ e $ 1/(2t) $
"Quinzio":
Se lo vuol fare qualcun altro, ben venga.
Ci provo, anche perché onestamente non mi pare infattibile...
Riscriviamo la formula che ha già riportato Quinzio con $y$ al posto di $x $:
[tex]\int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i} d^n y=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {y}}^T \mathbf {A} {\vec {y}}+{\vec {B}}^T {\vec {y}}} d^n y = {\sqrt {\frac {(2\pi )^n}{\det{A}}}} e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^T \mathbf {A}^{-1}{\vec {B}}}[/tex]
Mi sembra evidente che $ B_i = x_i/(2t) $ o, se si preferisce, il vettore colonna
\begin{equation*}
\vec {B} = \left[
\begin{array}{ccc}
\frac {x_1}{2t} \\
\frac {x_2}{2t} \\
\vdots \\
\frac {x_n}{2t}
\end{array} \right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec {B}^T = \left[
\begin{array}{ccc}
\frac {x_1}{2t}, \frac {x_2}{2t}, ... , \frac {x_n}{2t}
\end{array} \right]
\end{equation*}
Poi ovviamente
\begin{equation*}
\vec {y} = \left[
\begin{array}{ccc}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array} \right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
\vec {y}^T = \left[
\begin{array}{ccc}
y_1, y_2, ... , y_n
\end{array} \right]
\end{equation*}
Per quanto riguarda la matrice $\mathbf {A}$:
[tex]\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma} & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & \frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma} & 0 & ... & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\
0 & 0 & 0 & ... & \frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma}
\end{bmatrix} \implies \text{det} \mathbf{A} = \bigg(\frac{1}{2t} + \frac{1}{2\sigma}\bigg)^n = \bigg(\frac{\sigma + t}{2\sigma t}\bigg)^n[/tex]
Dato che deve essere $\mathbf{A} \mathbf{A}^{- 1} = \mathbf{I} $ si ha:
[tex]\mathbf{A}^{- 1} = \begin{bmatrix}
\frac{2 \sigma t}{\sigma + t} & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & \frac{2 \sigma t}{\sigma + t} & 0 & ... & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\
0 & 0 & 0 & ... & \frac{2 \sigma t}{\sigma + t}
\end{bmatrix} \implies \text{det} \mathbf{A}^{-1} = \bigg(\frac{2 \sigma t}{\sigma + t}\bigg)^n[/tex]
Perciò in definitiva mi risulta:
[tex]u(x, t) = \frac{1}{{(4\pi t)^\frac{n}{2} (4\pi \sigma)^\frac{n}{2}}} {\sqrt {\frac {(2\pi )^n}{\big( \frac{\sigma + t}{2\sigma t}\big)^n}}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2} = \frac{1}{{4^n \pi^n t^\frac{n}{2} \sigma^\frac{n}{2}}} {\frac {2^\frac{n}{2}\pi^\frac{n}{2}}{\big(\frac{\sigma + t}{2\sigma t}\big)^\frac{n}{2}}} e^{{\frac{\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2} = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2}[/tex]
A questo punto si ha: che
$\lim_{t \to -\sigma^+} u(x, t) = 0 $[/quote]
Onestamente sto ragionando per capire i vari passaggi, poiché che ci crediate o meno, è la prima volta che mi trovo davanti a conti del genere, matrici e integrali insieme.
Per ora posso solo ringraziare per l'aiuto e chiedere: questi argomenti, in che testi di riferimento posso trovarli?
"GuidoFretti":
Onestamente sto ragionando per capire i vari passaggi, poiché che ci crediate o meno, è la prima volta che mi trovo davanti a conti del genere, matrici e integrali insieme.
C'e' sempre una prima volta.
Infatti questo era il motivo principale per cui avevo fatto un procedimento che evitava l'uso di matrici esponenziali dentro a integrali.
Per ora posso solo ringraziare per l'aiuto e chiedere: questi argomenti, in che testi di riferimento posso trovarli?
Beh, questo e' un mix di analisi (avanzata) e algebra lineare.
Inoltre conviene dare un occhiata e imparare qualcosa sulla matrice esponenziale
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_esponenziale
in modo da non spaventarsi quando la si vede e capire che non e' una cosa aliena.
Grazie mille. Hai ragione
"pilloeffe":
A questo punto si ha:
$\lim_{t \to -\sigma^+} u(x, t) = 0 $
Il problema è che viene specificato che [tex]t\in(0,+\infty)[/tex] e [tex]\sigma>0[/tex], per cui [tex]-\sigma[/tex] non sarebbe di accumulazione per [tex](0,+\infty)[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex] ([tex]B(-\sigma,\sigma/2)\cap(0,+\infty)=\emptyset[/tex]). Capisco che è un esercizio di metodi, però...
Come ho riportato nel post precedente, probabilmente l'esercizio è stato dato per $-sigma$ ma in realtà il limite è per $t->sigma$
Non ne sarei così convinto, perché, se i conti di pilloeffe sono corretti, il dominio naturale di
è [tex]D:=(-\sigma,0)\cup(0,+\infty)[/tex], e [tex]-\sigma[/tex] è di accumulazione per [tex]D[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex]. E forse l'esercizio vuole proprio indicarti questo, ma per come l'hai riportato tu non è chiaro.
Potresti riportare il testo dell'esercizio integralmente e senza modifiche oppure postare una foto?
[tex]\mathbb{R}\ni t\longmapsto\frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2}[/tex]
è [tex]D:=(-\sigma,0)\cup(0,+\infty)[/tex], e [tex]-\sigma[/tex] è di accumulazione per [tex]D[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex]. E forse l'esercizio vuole proprio indicarti questo, ma per come l'hai riportato tu non è chiaro.
Potresti riportare il testo dell'esercizio integralmente e senza modifiche oppure postare una foto?
"413":
Non ne sarei così convinto, perché, se i conti di pilloeffe sono corretti, il dominio naturale di
[tex]\mathbb{R}\ni t\longmapsto\frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2}[/tex]
In un messaggio precedente avevo indicato che manca qualcosa.
Aspettavo l'arrivo di pilloeffe, ma lo scrivo lo stesso.
\( \displaystyle u(x, t) = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2 } e^{-{\frac {1}{4t}} |x|^2 }
= \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{-{\frac {1}{4(\sigma + t)}} |x|^2 }
\)
"413":
Non ne sarei così convinto, perché, se i conti di pilloeffe sono corretti, il dominio naturale di
[tex]\mathbb{R}\ni t\longmapsto\frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2}[/tex]
è [tex]D:=(-\sigma,0)\cup(0,+\infty)[/tex], e [tex]-\sigma[/tex] è di accumulazione per [tex]D[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex]. E forse l'esercizio vuole proprio indicarti questo, ma per come l'hai riportato tu non è chiaro.
Potresti riportare il testo dell'esercizio integralmente e senza modifiche oppure postare una foto?
Il testo lasciato dal docente dice di calcolare $lim_(t->-sigma)u(x,t)$ , dove $u(x,t)$ è da trovare risolvendo l'integrale che trovi nei post precedenti
"Quinzio":
[quote="413"]Non ne sarei così convinto, perché, se i conti di pilloeffe sono corretti, il dominio naturale di
[tex]\mathbb{R}\ni t\longmapsto\frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2}[/tex]
In un messaggio precedente avevo indicato che manca qualcosa.
Aspettavo l'arrivo di pilloeffe, ma lo scrivo lo stesso.
\( \displaystyle u(x, t) = \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{{\frac {\sigma}{4t(\sigma + t)}} |x|^2 } e^{-{\frac {1}{4t}} |x|^2 }
= \frac{1}{[4 \pi(\sigma + t)]^\frac{n}{2}} e^{-{\frac {1}{4(\sigma + t)}} |x|^2 }
\)[/quote]
Perdonami, non ho compreso quale era l'errore nei conti di pilloeffe...
Che per me già non erano una passeggiata per comprenderli
[tex]\begin{align*}
&\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}(4\pi\sigma)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{4t}\langle x-y,x-y\rangle}e^{-\frac{1}{4\sigma}\langle y,y\rangle}\,\mathrm{d}^ny\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}(4\pi\sigma)^{n/2}}{\color{red}e^{-\frac{1}{4t}\langle x,x\rangle}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac12\big\langle y,\frac{1}{2}\frac{\sigma+t}{\sigma t}\mathbb{I}y\big\rangle}e^{\big\langle\frac{x}{2t},y\big\rangle}\,\mathrm{d}^ny\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}(4\pi\sigma)^{n/2}}{\color{red}e^{-\frac{1}{4t}\sum_i x_i^2}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac12\sum_{ij}\big[\frac{1}{2}\frac{\sigma+t}{\sigma t}\delta_{ij}y_iy_j\big]}e^{\frac{1}{2t}\sum_ix_iy_i}\,\mathrm{d}^ny\quad
\end{align*}[/tex]
&\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}(4\pi\sigma)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{4t}\langle x-y,x-y\rangle}e^{-\frac{1}{4\sigma}\langle y,y\rangle}\,\mathrm{d}^ny\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}(4\pi\sigma)^{n/2}}{\color{red}e^{-\frac{1}{4t}\langle x,x\rangle}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac12\big\langle y,\frac{1}{2}\frac{\sigma+t}{\sigma t}\mathbb{I}y\big\rangle}e^{\big\langle\frac{x}{2t},y\big\rangle}\,\mathrm{d}^ny\\
&=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}(4\pi\sigma)^{n/2}}{\color{red}e^{-\frac{1}{4t}\sum_i x_i^2}}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac12\sum_{ij}\big[\frac{1}{2}\frac{\sigma+t}{\sigma t}\delta_{ij}y_iy_j\big]}e^{\frac{1}{2t}\sum_ix_iy_i}\,\mathrm{d}^ny\quad
\end{align*}[/tex]
si è perso per strada il termine in rosso.
"GuidoFretti":
Perdonami, non ho compreso quale era l'errore
Supponi che l'integrale sia
$$ \int_{\mathbb R ^n} e^{-|x-y|^2} d^n y$$
Svolgendo il modulo ottieni:
$$ |x-y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2
Lo scrivo esplicitamente nell'integrale:
$$ \int_{\mathbb R ^n} e^{-(\sum_i x_i^2 + \sum_i y_i^2 - \sum_i 2y_ix_i)} d^n y$$
Fin qui non dovrebbero esserci problemi.
Ora, se vuoi usare questa formula:
\( \displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i } d^n y \)
devi uguagliare gli esponenti, ovvero:
$$ -{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i = -(\sum_i y_i^2 + \sum_i x_i^2 - \sum_i 2y_ix_i)$$
I termini quadratici sono:
$$ -{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j = -\sum_i y_i^2 $$
e ovviamente gli $A_{ij}$ sono $2$ se $i=j$, altrimenti sono $0$.
Quindi lo potremmo riscrivere cosi':
$$ \sum \limits _{i=1}^{n}A_{ii} y_i^2 = 2 \sum_i y_i^2 $$
I termini lineari sono:
$$ \sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i = -\sum_i 2y_ix_i$$
ed e' facile capire cosa sono i $B_i$
E questo ?
$$ ??? = \sum_i x_i^2 $$
E' rimasto orfano e nella formula di Wikipedia non c'e' nulla per tenere conto di quel termine.
Quindi non possiamo usare la formula ?
No, la possiamo usare perche'
$$ \sum_i x_i^2 $$
e' una costante e puo' essere portato fuori dall'integrale.
Chi ha scritto la pagina di Wikipedia non ha messo nessun termine costante perche' sarebbe stato solo una inutile complicazione.
Pero' bisogna tenerne conto, non e' che siccome nella formula non c'e', sparisce nel nulla.
"413":
(la somma è sugli indici ripetuti).
Non usare la notazione di Einstein, non ti capisce se non ti spieghi bene. Lo abbiamo gia' abbastanza confuso con tutto il resto.
"Quinzio":
[quote="GuidoFretti"]
Perdonami, non ho compreso quale era l'errore
Supponi che l'integrale sia
$$ \int_{\mathbb R ^n} e^{-|x-y|^2} d^n y$$
Svolgendo il modulo ottieni:
$$ |x-y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2
Lo scrivo esplicitamente nell'integrale:
$$ \int_{\mathbb R ^n} e^{-(\sum_i y_i^2 + \sum_i x_i^2 + \sum_i 2y_ix_i)} d^n y$$
Fin qui non dovrebbero esserci problemi.
Ora, se vuoi usare questa formula:
\( \displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i } d^n y \)
devi uguagliare gli esponenti, ovvero:
$$ -{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j +\sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i = -(\sum_i y_i^2 + \sum_i x_i^2 + \sum_i 2y_ix_i)$$
I termini quadratici sono:
$$ -{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}y_i y_j = -\sum_i y_i^2 $$
e ovviamente gli $A_{ij}$ sono $2$ se $i=j$, altrimenti sono $0$.
Quindi lo potremmo riscrivere cosi':
$$ \sum \limits _{i=1}^{n}A_{ii} y_i^2 = 2 \sum_i y_i^2 $$
I termini lineari sono:
$$ \sum \limits _{i=1}^{n}B_i y_i = \sum_i 2y_ix_i$$
ed e' facile capire cosa sono i $B_i$
E questo ?
$$ ??? = \sum_i x_i^2 $$
E' rimasto orfano e nella formula di Wikipedia non c'e' nulla per tenere conto di quel termine.
Quindi non possiamo usare la formula ?
No, la possiamo usare perche'
$$ \sum_i x_i^2 $$
e' una costante e puo' essere portato fuori dall'integrale.
Chi ha scritto la pagina di Wikipedia non ha messo nessun termine costante perche' sarebbe stato solo una inutile complicazione.
Pero' bisogna tenerne conto, non e' che siccome nella formula non c'e', sparisce nel nulla.[/quote]
Perdonami, magari sto dicendo una cavolata: ma
$$ |x-y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2
Non sarebbe invece
$$ |x-y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2
Perché comunque $
Si, e' un errore mio.
Il concetto e' quello che secondo me hai capito.
L'importante e' che vedi che c'e' una costante di cui tenere conto.
Il concetto e' quello che secondo me hai capito.
L'importante e' che vedi che c'e' una costante di cui tenere conto.
Sisi, era giusto una conferma.
Si grazie, ora il concetto e soprattutto la mancanza l'ho capita.
Grazie ancora
Si grazie, ora il concetto e soprattutto la mancanza l'ho capita.
Grazie ancora
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