Integrale di variabile reale da risolvere con il metodo dei residui

[Salva003]

Salve,ho questo integrale reale da risolvere con il metodo dei residui che mi sta dando problemi perchè non trovo la curva giusta...la funzione non è pari quindi non posso nemmeno estenderlo a tutto l'asse reale.
\(\int_0^\infty dx/(1+x^3+x^6+x^9) \)
Grazie in anticipo per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao Salv03,

Benvenuto sul forum!

Beh, potresti cominciare con lo scomporre il denominatore; se non ho fatto male i conti risulta quanto segue:

$ \int_0^{+\infty} (\text{d}x)/(1+x^3+x^6+x^9) = \int_0^{+\infty} (\text{d}x)/((x + 1)(x^2 +1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)) $

Le $9$ soluzioni dell'equazione $ x^9 + x^6 + x^3 + 1 = 0 $ sono le seguenti:

$x_1 = - 1 $

$x_{2,3} = \pm i $

$x_{4,5} = \sqrt3/2 \pm i/2 $

$x_{6,7} = - \sqrt3/2 \pm i/2 $

$x_{8,9} = 1/2 \pm i\sqrt3/2 $

[Salva003]

Ciao, grazie mille.Sul trovare i poli e calcolare i residui non ho problemi.Il mio problema è individuare la curva giusta per l'integrazione,sicuramente devo prendere un segmento [0,R] sull'asse reale,poi ho pensato di considerare il quarto di circonferenza nel primo quadrante(su cui l'integrale tende a 0) e infine chiudere con il segmento verticale [0,R].Il mio problema è che non riesco a far quadrare l'integrale che esce lungo questo segmento,rendendolo magari simile all'integrale che mi serve.

[pilloeffe]

"Salv03":grazie mille.

Prego.

L'integrale proposto è del tipo $ I = \int_0^{+\infty}R(x)\text{d}x $ ove nel caso in esame $ R(x) = 1/(1+x^3+x^6+x^9)$
Si tratta dell'integrale di una funzione razionale, che certamente esiste in quanto la funzione razionale $R(x) = (N(x))/(D(x)) $ è tale che $\text{deg}[D(x)] \ge 2 + \text{deg}[N(x)] $ e $D(x)$ è priva di singolarità sul semiasse reale positivo, che si può risolvere facendo uso della formula generale seguente:

$I=−\sum \text{Res}[R(z)lnz] $

ove la sommatoria è estesa a tutti i poli della funzione razionale $R(z)$ che nel caso in esame coincidono con le 9 soluzioni dell'equazione $ x^9 + x^6 + x^3 + 1 = 0 $ (poli semplici) scritte nel mio post precedente.

Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread e per quanto concerne il percorso di integrazione ad esempio qui.