Integrale con residui

[packy95]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo integrale con il metodo dei residui:

$\int_{0}^{\infty} \sin x/x dx$.

Ho provato questo svolgimento: considero che l'integrale iniziale è metà dell'integrale da $-\infty$ a $+\infty$:

$1/2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin x/x dx$.

Passo in campo complesso e considero solo la parte immaginaria dell'esponenziale:

$1/2 \Im [\int_{-\infty}^{\infty} e^{iz}/z dz]$.

Successivamente scrivo lo sviluppo in serie dell'esponenziale che moltiplico per $\1/x$ e ottengo come residuo $1$.
Dal teorema dei residui so che ottengo:

$2\pi i* 1 $ che divido poi per $1/2$ ottenendo come risultato finale $\pi$.

Sul mio libro il risultato dovrebbe essere $\pi/2$ ma non capisco dove sbaglio.

Grazie a tutti in anticipo

[dissonance]

Manca tutta la parte più importante. Devi scegliere un cammino di integrazione.

[packy95]

Io ho scelto il percorso d integrazione da $-\infty$ a $\infty$ chiudendo poi nel semipiano positivo dell'asse immaginario.
Però mi sono appena accorto che non posso farlo poichè ho una singolarità in zero. A questo punto non saprei come fare..

[dissonance]

Esatto, ed è proprio quello che ti frega. Guarda qua:

http://mathworld.wolfram.com/Contour.html

Devi prendere un cammino di integrazione come nella seconda figura.

[packy95]

Adesso è tutto più chiaro, grazie mille!