Integrale con metodo dei residui
Buonasera, vi scrivo per chiedervi una conferma. Ho questo integrale $ int_(-oo )^(oo ) (5e^x)/(e^(4x)+5e^(2x)+4) dx $ da risolvere con il metodo dei residui. A questo punto so di dover effettuare la sostituzione $ e^x = t $ e quindi in teoria l'integrale diventa $ 5int_(-oo )^(oo ) t/(t^4+5t^2+4) dx $, però il libro propone questa trasformazione, $ 5/2int_(-oo )^(oo ) 1/(t^4+5t^2+4) dx $, ora mi sorgono due dubbi, 1) che fine fa la $ t $ al nominatore che deriva dalla sostituzione e 2) perchè oltre al $ 5 $ (costante) vi è anche un $ 2 $ al denominatore prima dell'integrale? Grazie mille per ogni vostro suggerimento 
Risposte
Scusa la domanda... Ma hai studiato Analisi I?
"gugo82":
Scusa la domanda... Ma hai studiato Analisi I
Scusami per l'errore enorme e inaccettabile che ho commesso, stavo risolvendo l'esercizio in un momento di poca concentrazione. Cerco di correggere
Ho l'integrale $ int_(-oo )^(oo ) (5e^x)/(e^(4x)+5e^(2x)+4) dx $, sostituisco $ t = e^x $ e di conseguenza $ dt = e^x dx $, dunque si ha $ 5int_(-oo )^(oo ) (dt)/(t^4+5t^2+4) $ . Mentre il $ 2 $ al denominatore prima dell'integrale si ha perchè nel caso in cui $ f(z) $ sia una funzione pari otteniamo $ int_(0)^(oo ) f(z) dz = 1/2int_(-oo )^(oo ) f(z) dz $. E' giusto?
A volte è tutto così semplice ma ci si perde per nulla.
Ciao antor,
No... Con la sostituzione proposta si ha $5\int_{0}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) $ e, siccome la funzione integranda è pari, si ha $\int_{0}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) $ per cui ecco che "magicamente" risulta quanto proposto dal tuo libro di testo:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} (5e^x)/(e^(4x)+5e^(2x)+4) \text{d}x = 5/2 \int_{-\infty}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = (5\pi)/12 $
Immagino siano i tuoi primi esercizi sugli integrali da risolvere col metodo dei residui, perché onestamente non avrei mai risolto un integrale del genere col metodo dei residui, ma avrei considerato che $t^4 + 5t^2 + 4 = (t^2 + 1)(t^2 + 4) $, per cui si ha:
$ \int (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = \int (\text{d}t)/((t^2+ 1)(t^2+4)) = 1/3(\int (\text{d}t)/(t^2+1) - \int (\text{d}t)/(t^2+4)) = $
$ = 1/3 arctan t - 1/6 arctan(t/2) + c = 1/6 [2 arctan t - arctan(t/2)] + c $
Dunque in definitiva si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = 1/6 [2 arctan t - arctan(t/2)]_{-\infty}^{+\infty} = 1/6 [2 \cdot \pi/2 - \pi/2 - 2 \cdot (-\pi/2) + (-\pi/2)] = $
$ = 1/6 [\pi - \pi/2 + \pi - \pi/2] = \pi/6 $
"antor":
sostituisco $t=e^x$ e di conseguenza $dt=e^x dx $, dunque si ha $5\int_{-\infty}^{+\infty} (dt)/(t^4+5t^2+4) $
No... Con la sostituzione proposta si ha $5\int_{0}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) $ e, siccome la funzione integranda è pari, si ha $\int_{0}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) $ per cui ecco che "magicamente" risulta quanto proposto dal tuo libro di testo:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} (5e^x)/(e^(4x)+5e^(2x)+4) \text{d}x = 5/2 \int_{-\infty}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = (5\pi)/12 $
Immagino siano i tuoi primi esercizi sugli integrali da risolvere col metodo dei residui, perché onestamente non avrei mai risolto un integrale del genere col metodo dei residui, ma avrei considerato che $t^4 + 5t^2 + 4 = (t^2 + 1)(t^2 + 4) $, per cui si ha:
$ \int (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = \int (\text{d}t)/((t^2+ 1)(t^2+4)) = 1/3(\int (\text{d}t)/(t^2+1) - \int (\text{d}t)/(t^2+4)) = $
$ = 1/3 arctan t - 1/6 arctan(t/2) + c = 1/6 [2 arctan t - arctan(t/2)] + c $
Dunque in definitiva si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} (\text{d}t)/(t^4+5t^2+4) = 1/6 [2 arctan t - arctan(t/2)]_{-\infty}^{+\infty} = 1/6 [2 \cdot \pi/2 - \pi/2 - 2 \cdot (-\pi/2) + (-\pi/2)] = $
$ = 1/6 [\pi - \pi/2 + \pi - \pi/2] = \pi/6 $
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