Espansione pettine di impulsi di Dirac nel dominio della pulsazione angolare
Ciao,
leggendo il link in italiano Pettine di Dirac sulla trasformata di Fourier del pettine di impulsi di Dirac mi e' venuto un dubbio.
Mi sembra che nell'ultimo calcolo della sezione ci sia un errore. Il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del treno di impulsi nel dominio della pulsazione angolare \(\displaystyle \omega \) dovrebbe dare come risultato \(\displaystyle T/2\pi \) e quindi, moltiplicando per la costante \(\displaystyle 2\pi/T \) che compare nel pettine di impulsi nel dominio della pulsazione angolare, si ottiene sempre 1.
Di conseguenza dovrebbe essere
\(\displaystyle \frac {2\pi} {T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac {2\pi} {T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jnT \omega} \)
E' corretto ? Grazie.
leggendo il link in italiano Pettine di Dirac sulla trasformata di Fourier del pettine di impulsi di Dirac mi e' venuto un dubbio.
Mi sembra che nell'ultimo calcolo della sezione ci sia un errore. Il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del treno di impulsi nel dominio della pulsazione angolare \(\displaystyle \omega \) dovrebbe dare come risultato \(\displaystyle T/2\pi \) e quindi, moltiplicando per la costante \(\displaystyle 2\pi/T \) che compare nel pettine di impulsi nel dominio della pulsazione angolare, si ottiene sempre 1.
Di conseguenza dovrebbe essere
\(\displaystyle \frac {2\pi} {T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac {2\pi} {T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jnT \omega} \)
E' corretto ? Grazie.
Risposte
Ciao cianfa72,
Dipende dalla definizione di trasformata di Fourier che adotti... Potresti dare un'occhiata ad esempio alla riga 316 della tabella che trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
Dipende dalla definizione di trasformata di Fourier che adotti... Potresti dare un'occhiata ad esempio alla riga 316 della tabella che trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
Ho visto il link in particolare la riga 316, in ogni caso non mi torna.
Una generica funzione \(\displaystyle f(x) \) periodica di periodo \(\displaystyle 2L \) sufficientemente "regolare" ammette uno sviluppo in serie (polare) di Fourier del tipo
\(\displaystyle f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn \pi x /L}, \, c_n = \frac {1} {2L} \int_{- L}^{L} f(x)e^{-jn\pi x/L} \, dx\)
Ora per ipotesi il pettine di impulsi (Dirac comb) nella variable frequenza angolare \(\displaystyle \omega \) ha periodo \(\displaystyle 2\pi/T \) -- vedi riga 316
\[\displaystyle f(\omega) = \frac {2\pi} {T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac {2\pi} {T}) \]
quindi ponendo \(\displaystyle x=\omega \) e \(\displaystyle L = \pi/T \) abbiamo \(\displaystyle c_n = \frac {T} {2\pi} \int_{- \pi/T}^{\pi/T} f(\omega)e^{-jn \omega T} \, d{\omega}\ \).
L'impulso di Dirac in \(\displaystyle \omega=0 \) che entra nell'integrale di fatto "campiona" l'esponenziale in \(\displaystyle \omega=0 \), per cui \(\displaystyle c_n = \frac {2\pi} {T} \cdot \frac {T} {2\pi} = 1 \) da cui
\[ \displaystyle \frac {2\pi} {T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac {2\pi} {T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jn \omega T} \]
Una generica funzione \(\displaystyle f(x) \) periodica di periodo \(\displaystyle 2L \) sufficientemente "regolare" ammette uno sviluppo in serie (polare) di Fourier del tipo
\(\displaystyle f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn \pi x /L}, \, c_n = \frac {1} {2L} \int_{- L}^{L} f(x)e^{-jn\pi x/L} \, dx\)
Ora per ipotesi il pettine di impulsi (Dirac comb) nella variable frequenza angolare \(\displaystyle \omega \) ha periodo \(\displaystyle 2\pi/T \) -- vedi riga 316
\[\displaystyle f(\omega) = \frac {2\pi} {T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac {2\pi} {T}) \]
quindi ponendo \(\displaystyle x=\omega \) e \(\displaystyle L = \pi/T \) abbiamo \(\displaystyle c_n = \frac {T} {2\pi} \int_{- \pi/T}^{\pi/T} f(\omega)e^{-jn \omega T} \, d{\omega}\ \).
L'impulso di Dirac in \(\displaystyle \omega=0 \) che entra nell'integrale di fatto "campiona" l'esponenziale in \(\displaystyle \omega=0 \), per cui \(\displaystyle c_n = \frac {2\pi} {T} \cdot \frac {T} {2\pi} = 1 \) da cui
\[ \displaystyle \frac {2\pi} {T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac {2\pi} {T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jn \omega T} \]
Beh, in effetti guardando l'ultima colonna della riga 316 dopo qualche passaggio anche a me risulta quanto segue:
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n x} = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(x + 2\pi k) = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(x - 2\pi k) $
Posto $x := \omega T $ e sfruttando la ben nota proprietà $\delta(c t) = 1/|c| \delta(t) $ si ha:
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n \omega T} = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega T - 2\pi k) = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta[T(\omega - k (2\pi)/T)] = (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k (2\pi)/T) $
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n x} = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(x + 2\pi k) = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(x - 2\pi k) $
Posto $x := \omega T $ e sfruttando la ben nota proprietà $\delta(c t) = 1/|c| \delta(t) $ si ha:
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n \omega T} = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega T - 2\pi k) = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta[T(\omega - k (2\pi)/T)] = (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k (2\pi)/T) $
Hai fatto bene a correggerla; così corretta la formula è coerente con quella nel dominio delle frequenze riportata poco sopra, infatti si ha:
$ (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k (2\pi)/T) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n \omega T} $
Dato che $\omega = 2\pi f $, sostituendo si ha:
$ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n 2\pi f T} = (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(2\pi f - k (2\pi)/T) = (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta[2\pi(f - k/T)] $
Sfruttando ancora la ben nota proprietà $ \delta(c t) = 1/|c| \delta(t) $ si ha
$ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n 2\pi f T} = 1/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(f - k/T) $
che è proprio quella nel dominio delle frequenze riportata poco sopra.
$ (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k (2\pi)/T) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n \omega T} $
Dato che $\omega = 2\pi f $, sostituendo si ha:
$ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n 2\pi f T} = (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(2\pi f - k (2\pi)/T) = (2\pi)/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta[2\pi(f - k/T)] $
Sfruttando ancora la ben nota proprietà $ \delta(c t) = 1/|c| \delta(t) $ si ha
$ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{j n 2\pi f T} = 1/T \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(f - k/T) $
che è proprio quella nel dominio delle frequenze riportata poco sopra.
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