Esercizio sviluppo in serie di Laurent

[ale_kitchen02]

Ciao ragazzi,
Volevo chiedervi una mano con questo esercizio di cui allego anche la soluzione.
Non riesco a capire sotto quali condizioni è possibile applicare direttamente gli sviluppi in serie di Laurent e perché è necessario fare tutti i passaggi fatti nella soluzione.
In questo caso la tentazione di applicare direttamente lo sviluppo in serie di Laurent del seno era alta però troppo scontata per funzionare.

$\sin\left( \frac{z}{z+1} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} \left( \frac{z}{z+1} \right)^{2n + 1}$

Spero possiate aiutarmi :)

[ingres]

Se ho compreso correttamente il senso, la domanda è perché si devono fare tutti i passaggi della soluzione e non si utilizza direttamente lo sviluppo del seno.

Il problema è che lo sviluppo in serie di Laurent attorno al punto z0 comprende potenze positive e negative solo del termine (z-z0).
Se in questo caso si utilizza direttamente lo sviluppo del seno si hanno delle potenze di z/(z-z0), che non è quello che è richiesto, e quindi si è costretti a riarrangiare le cose per raggiungere il risultato.

Quindi il problema non è tanto nelle condizioni ma se il risultato che si ottiene è quello voluto.