Esercizio spazi L^p
Ho il seguente esercizio:
Determinare i valori $ 1 <= p <= ∞$ per i quali $ T in (L^p(0,∞)) ^ast$ dove:
$ T(f) = int_(0)^(1) f(x^2)/sqrtx dx + int_(1)^(∞) f(sqrtx)/x^6 dx $
esiste.
Allora io ho la soluzione ma vorrei capirla bene, prima di tutto mi riscrivo (dopo un cambio di variabili)
$ T(f) = int_(0)^(1) f(y)/(2y^(3/4)) dy + int_(1)^(∞) (2f(y))/y^11 dy $
da qui voi come direste che il primo ed il secondo integrale sono in $L^q$, dove q sarebbe l'esponente coniugato di p
Determinare i valori $ 1 <= p <= ∞$ per i quali $ T in (L^p(0,∞)) ^ast$ dove:
$ T(f) = int_(0)^(1) f(x^2)/sqrtx dx + int_(1)^(∞) f(sqrtx)/x^6 dx $
esiste.
Allora io ho la soluzione ma vorrei capirla bene, prima di tutto mi riscrivo (dopo un cambio di variabili)
$ T(f) = int_(0)^(1) f(y)/(2y^(3/4)) dy + int_(1)^(∞) (2f(y))/y^11 dy $
da qui voi come direste che il primo ed il secondo integrale sono in $L^q$, dove q sarebbe l'esponente coniugato di p
Risposte
Disuguaglianza di Hölder
Quindi considero i due integrali separati e su ciascuno mi stimo la norma 1? per poi usare così la disuguaglianza
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