Esempio operatore non Compatto e convergenza debole

[asso210]

Buongiorno a tutti.

Volevo un piccolo aiuto riguardo gli operatori compatti, in particolare capire perchè l'operatore identità $I$ in uno spazio di Hilbert inf-dimensionale non è compatto, cioè $ {Ie_n} $ non ammette sottosuccessione convergente; e inoltre che relazione c'è tra questa cosa e il fatto che la successione $ {e_n} $ , intesa come base in \( \ell^2 \), converge debolmente ma non fortemente.

Vi ringrazio in anticipo.

[otta96]

"asso210":Volevo capire perchè l'operatore identità $I$ in uno spazio di Hilbert inf-dimensionale non è compatto, cioè $ {Ie_n} $ non ammette sottosuccessione convergente

Perché ${Ie_n}_(n\inNN)={e_n}_(n\inNN)$, che non ha sottosuccessioni convergenti perché la distanza tra due elementi diversi è $sqrt2$ (supponendo che ${e_n}_(n\inNN)$ sia un s.o.n.), quindi non è compatto.

inoltre che relazione c'è tra questa cosa e il fatto che la successione $ {e_n} $ , intesa come base in \( \ell^2 \), converge debolmente ma non fortemente.

Io non conosco nessun collegamento, questo non significa che non esista. Magari qualcuno che ne sa di più se passa di qui ce lo fa sapere

[Bremen000]

Mah l'unica cosa che mi viene in mente legata ai due argomenti è l'esempio di una successione di operatori compatti che tende debolmente-\(\ast\) all'identità che però non è compatta. Cioè prendi \( (H, \langle \cdot, \cdot \rangle) \) spazio di Hilbert separabile infinito dimensionale con norma indotta \( \|\cdot \| \) e base o.n. \( \{ e_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset H \) e definisci, per ogni \( n \in \mathbb{N} \), gli operatori
\[ P_n : H \to H \quad \quad x \mapsto \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k \]

Allora \( P_n \) è compatto per ogni \( n \in \mathbb{N} \) (perché?) e si ha

\[ P_n \rightharpoonup^* I \]

ma $I$ non è compatto.

[asso210]

"otta96":[quote="asso210"]Volevo capire perchè l'operatore identità $ I $ in uno spazio di Hilbert inf-dimensionale non è compatto, cioè $ {Ie_n} $ non ammette sottosuccessione convergente

Perché $ {Ie_n}_(n\inNN)={e_n}_(n\inNN) $, che non ha sottosuccessioni convergenti perché la distanza tra due elementi diversi è $ sqrt2 $ (supponendo che $ {e_n}_(n\inNN) $ sia un s.o.n.), quindi non è compatto.

inoltre che relazione c'è tra questa cosa e il fatto che la successione $ {e_n} $ , intesa come base in \( \ell^2 \), converge debolmente ma non fortemente.

Io non conosco nessun collegamento, questo non significa che non esista. Magari qualcuno che ne sa di più se passa di qui ce lo fa sapere [/quote]

Scusami ma perchè se la distanza tra due elementi è \( \sqrt{2}\) allora non posso estrarre nemmeno una sottosuccessione convergente?

[otta96]

Perché non potrà essere di Cauchy.

[dissonance]

"otta96":
Io non conosco nessun collegamento, questo non significa che non esista. Magari qualcuno che ne sa di più se passa di qui ce lo fa sapere

Sicuramente si riferisce a ciò che hai scritto due righe più sopra. Gli operatori compatti sono caratterizzati dal trasformare successioni debolmente convergenti in successioni convergenti in norma; quindi, se \(I\colon H\to H\) fosse compatto, la successione \(e_n=Ie_n\) dovrebbe convergere in norma, visto che essa converge debolmente. Ma così non è.

[otta96]

"dissonance":Gli operatori compatti sono caratterizzati dal trasformare successioni debolmente convergenti in successioni convergenti in norma.

Questa cosa in effetti non la sapevo.

[otta96]

Un attimo, oggi ho trovato questo….

[dissonance]

Negli spazi di Hilbert è un se e solo se.

[otta96]

Ah ok, grazie del chiarimento

[dissonance]

Si, sono cose facili da dimostrare. Se \(T\colon X\to X\) è completamente continuo e \(X\) è riflessivo, allora esso mappa ogni successione limitata in una successione che ha dei punti limite in norma. È semplice da dimostrare usando il fatto che successioni limitate hanno punti limite deboli.