Equazione integro-differenziale impossibile

[Oiram92]

Buonasera, stavo tentando di risolvere questo esercizio :

\(\displaystyle y''(t)+y'(t)+2\;\int_{0}^{t} y(\tau)\;d\tau = cos(t) \)

con condizioni iniziali nulle. Applicando la trasformata di Laplace si ha :

\(\displaystyle s^2\;Y(s) + s\;Y(s)+ \frac{2}{s}\;Y(s) = \frac{s}{s^2+1} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;Y(s) = \frac{s^2}{(s^2+1)(s^3+s^2+2)} \)

ho provato di tutto per decomporre il secondo termine a denominatore ma non riesco a ricavare nulla..Calcolando le radici con Mathematica escono fuori cose incredibili..qualche suggerimento? grazie mille

[Oiram92]

Grazie mille per la risposta e per il link (che ho letto con piacere perchè è scritto molto bene ed a tratti anche divertente oltre che interessante). Ho provato a vedere se (ed in quanto tempo) riuscivo ad ottenere un risultato concreto che mi sarebbe potuto tornare utile ma (come era prevedibile) i conti si sono rivelati lunghi e noiosi (e probabilmente anche sbagliati per distrazioni varie). Tuttavia ho pensato che un modo alternativo (per non passare direttamente dal calcolo esplicito) potrebbe essere quello di porre genericamente :

\(\displaystyle Y(s) = \frac{s^2}{(s^2+1)(s^3+s^2+2)} = \frac{s^2}{(s^2+1)(s+a)(s+b)(s+c)} \;\;\;\;\;\;\;a,b,c \in \mathbb{C} \)

decomponendo si ottiene :

\(\displaystyle \frac{As+B}{s^2+1} + \frac{C}{s+a} + \frac{D}{s+b} + \frac{E}{s+c} = \begin{cases} A + C +D +E=0\\ A+B+C(b+c)+D(a+c)+E(a+b)=0 \\ B +C(bc+1)+D(ac+1)+E(ab+1)=1 \\ 2A+C(b+c)+D(a+c)+E(a+b)=0\\2B+C\;bc+D\;ac+E\;ab=0 \end{cases} \)

dopo sei passaggi e senza curarsi troppo della forma si giunge a :

\(\displaystyle \begin{cases} A = B = -\frac{1}{2} \\ D = - \frac{b(b-2)+(c-1)^2}{2(a-b)(b-c)} = \lambda_D \\ E = \frac{(c-1)^2}{(a-c)(b-c)} = \lambda_E \\ C = \frac{1}{2} - \lambda_D - \lambda_E = \lambda_C \end{cases} \;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\;\; -\frac{1}{2} \;\frac{s+1}{s^2+1} + \lambda_C \;\frac{1}{s+a} + \lambda_D\;\frac{1}{s+b} + \lambda_E\;\frac{1}{s+c} \)

che antitrasformato secondo Laplace fornisce la soluzione :

\(\displaystyle y(t) = -\frac{1}{2}\; cos(t) -\frac{1}{2}\; sen(t) + \lambda_C \;e^{-at} + \lambda_D\;e^{-bt} + \lambda_E\;e^{-ct} \)

che mi sembra uguale al risultato che hai ottenuto tu. Tutto corretto?

PS: se all'esame non avessi abbastanza tempo per risolvere esplicitamente (con tutti i passaggi) il sistema potrei anche solo impostare il sistema e poi scrivere direttamente che la soluzione è :

\(\displaystyle y(t) = A\; (cos(t)+ \frac{B}{A}\; sin(t)) + C \;e^{-at} + D\;e^{-bt} + E\;e^{-ct} \)

specificando che le costanti si ricavano da quel sistema no?

[Oiram92]

Grazie mille della spiegazione chiara ed esaustiva. Il motivo per cui uso la trasformata di Laplace è perchè lo chiede esplicitamente il prof in ogni esercizio di questo tipo (raramente chiede di risolverlo con la trasformata di Fourier ma la sostanza non cambia). Quindi non ho altra scelta se non procedere obbligatoriamente in questo modo.