Dubbio su logaritmo complesso.

[Studente Anonimo]

Se vero dare un esempio se falso dimostra che è falso
i) Sia \( f : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa tale che \( f'(z) = 1/z \)

Allora è falso. Però ho 2 dubbi nel punto claim 2 Lo sketch è questo
Claim 1: Sia \( \Omega \subseteq \mathbb{C}^* \), allora \( L: \Omega \to \mathbb{C} \) è un logaritmo su \( \Omega \) se e solo se \( L' (z) = \frac{1}{z} \)

Claim 2: Se \( \Omega = \mathbb{C}^* \) non esiste un logaritmo \( L : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \), ovvero non esiste \(L\) tale che per ogni \( z \in \mathbb{C} \), \( e^{L(z)} = z \).

Per il Claim 1:

Sia \( L \) un logaritmo, allora \( e^{L(z)} = z \) per ogni \( z \in \Omega \). Derivando entrambi i membri otteniamo \( L' (z) = \frac{1}{z} \).
Per l'altra direzione, sia \( L \) tale che \( L'(z) = \frac{1}{z} \) allora
\[ \frac{\text{d}}{\text{d}z} \left( z e^{-L(z)} \right) = e^{-L(z)} \left( 1 - zL'(z) \right) = 0 \]
pertanto \( z e^{-L(z)} \) è una costante e deduciamo che \( e^{L(z)} = z \).

Per il claim 2:

Supponiamo che esista un logaritmo \(L: \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \), allora consideriamo la restrizione di \(L \) al cerchio unitario \( S^1 \subset \mathbb{C}^* \). Abbiamo dunque che per ogni \( z \in S^1 \) risulta \( z = e^{i \theta} \) per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \). Abbiamo dunque che \( e^{L(e^{i\theta})} = e^{i \theta} \). Ponendo inoltre \( L(e^{i \theta}) = v(\theta) + i u(\theta) \) abbiamo che
\[ e^{i \theta} = e^{v(\theta)} e^{i u(\theta)} \]
dunque \( v(\theta)=0 \) e \( u(\theta) - \theta = 2 \pi n_{u}(\theta) \) dove \( n_{u} : \mathbb{R} \to \mathbb{Z} \).
Inoltre se \( L \) è olomorfa abbiamo che \(u \) è continua su \( \mathbb{R} \), pertanto \( n_{u}(x)=n_u \in \mathbb{Z} \) è costante per ogni \(x \in \mathbb{R} \), altrimenti farebbe dei salti di discontinuità in quanto l'immagine è un sottoinsieme di \( \mathbb{Z} \).
Allo stesso tempo abbiamo che
\[ e^{i u(\theta+2\pi)}= e^{i(\theta+2\pi)} = e^{i \theta} = e^{iu(\theta) } \]
dunque \( u(\theta) \) è \(2\pi \)- periodica, e siccome
\[ u(\theta)=2\pi n_{u}(\theta) + \theta = 2 \pi n_u + \theta \]
abbiamo che
\[ u(\theta+2\pi) = 2\pi n_{u}(\theta+2\pi) + (\theta+2\pi)= 2\pi n_u + \theta + 2\pi\]
combinando questi due risultati otteniamo
\[ 0 = 2 \pi \]
assurdo!

Ho due dubbio:
1) È corretto dire che la funzione \(n_{u} \) dipende da \( u \)? O sarebbe più corretto dire che dipende da \( \theta \) dell'esponente \( z=e^{i \theta} \) e scrivere \( n_{\theta} \) ? E dunque avere
\( u(\theta+2\pi) = 2\pi n_{\theta+2\pi}(\theta+2\pi) + (\theta+2\pi) \) e dunque non otteniamo nessuna contraddizione poiché \(n_{\theta+2\pi} = n_{\theta}-1 \) e sono entrambe funzioni costanti ?

2) Ad un certo punto uso che \( L \) è olomorfa per dire che \(u \) è continua.
In teoria basterebbe anche la continuità di \(L \), vero?
È possibile definire un logaritmo discontinuo su \( \mathbb{C}^* \) ??

[dissonance]

Secondo me il punto centrale è questo integrale;
\[
\int_{|z|=1} f’(z)\, dz.\]
Da una parte, esso si deve annullare, perché è l’integrale di una derivata su un cammino chiuso. Ma d’altra parte esso è uguale a
\[
\int_{|z|=1} \frac{dz}{z}=...\]

Vedi questa risposta di ViciousGoblin, dalla quale imparai molto, dieci anni fa:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 89#p283189

[Studente Anonimo]

Il nostro prof di analisi III ci disse che il problema era che altrimenti si può fare un cammino chiuso attorno all'origine. Come ad esempio il cerchio unitario \(S^1\), su cui poi tu integri. E se guardi la tua argomentazione il problema è il medesimo, nel senso che se puoi fare un giro attorno all'origine allora puoi fare l'integrale che dici tu.
Infatti la dimostrazione del claim 2 l'ho ripresa dalle note di corso di analisi 3, ma mi sono sorti quei dubbi.

[dissonance]

Non capisco esattamente cosa “altrimenti si può fare un cammino chiuso attorno all’origine” voglia dire, ma credo sia proprio ciò che cercavo di spiegare io nel mio post precedente, riprendendo ViciousGoblin.

[Studente Anonimo]

Nel senso che se esiste il logaritmo su tutto \( \mathbb{C}^* \) allora puoi valutarlo su di un cammino chiuso che circonda l'origine. Se non puoi chiudere il cammino (perché ci togli una semiretta, che contiene zero, del piano complesso) allora non si creano problemi perché non puoi chiudere il cammino attorno all'origine.