Dominio funzione radice in variabile complesso

[ravanello2]

Ciao a tutti,
sto iniziando a studiare le funzioni in variabile complessa.
Ho un esercizio che mi chiede il dominio di una funzione radice:
$sqrt(z^2 - 4)$

Non ho mai affrontato la funzione radice complessa (neanche nelle dispense delle lezioni che peraltro non seguo perché lavoro) e quindi non conosco quali sono le condizioni di esistenza della funzione. Trasformando la funzione complessa nelle sue componenti reali, vale la condizione di positività o di nullità del radicando? Quindi dovrei risolvere la disequazione

$x^2+2xyi-y^2-4 >=0$

Scusate, il quesito forse è banale ma non riesco a capire.
Grazie.

[Noodles1]

Per quanto riguarda il campo di esistenza:

$AA z in CC$

Vero è che, nonostante la funzione sia nulla dove il radicando è nullo:

$sqrt(z^2-4)=0 harr z=+-2$

quei due valori di z, per la doppia determinazione della radice, sono punti singolari chiamati punti di diramazione. Ad ogni modo, prima di approfondire ti consiglio di dare un'occhiata alle funzioni polidrome.

"ravanello":
Quindi dovrei risolvere la disequazione:

$x^2+2xyi-y^2-4 >=0$

Sei completamente fuori strada. Insomma, non esiste il concetto di positività per un numero complesso. Sei sicuro di avere le basi?

[Mephlip]

@ravanello: Oltre a ciò che ha detto Noodles, in più ti invito ad osservare che in $\mathbb{C}$ questa:

"ravanello":$$x^2+2xyi-y^2-4\ge 0$$

non ha proprio senso. Perché?

[Noodles1]

@ Mephlip

Hai anticipato la mia integrazione. Tanto meglio, vista la grave misconcezione.

[ravanello2]

Grazie a tutti per le risposte.
Infatti suonava strana anche a me la disequazione, immagino perché $C$ non è ordinato.