Domande sull'ideale degli operatori compatti
Dati due spazi di Banach $X,Y$ si possono definire come sapete le funzioni lineari continue $L(X,Y)$, e lineari compatte $K(X,Y)$. Se $X=Y$ scrivo $(X)$ invece che $(X,Y)$.
Si dimostra che la composizione di un elemento di $L(X)$ e uno di $K(X)$ sta in $K(X)$ indipendentemente dall'ordine di composizione, questo si dice in questo modo "$K(X)$ è un ideale bilatero dell'algebra $(L(X),+,\circ)$".
Le mie domande sono queste: si sa qualcosa del quoziente? Cioè $(L(X))/(K(X))$ è un oggetto studiato? Direi che dato che $K(X)$ è chiuso (ovviamente rispetto alla norma operatoriale) per lo meno il quoziente è $T_2$, inoltre è connesso, anche per archi, ma cos'altro si può dire?
Poi è stato considerato il problema di determinare (magari esplicitamente) un ideale massimale di $L(X)$ che contiene $K(X)$?
Poi un'ultima cosa: per quanto detto $K(X)\circK(X)\subseteq K(X)$ (spero si capisca cosa intendo), ma vale l'inclusione stretta o l'uguaglianza? Io penserei la prima e sono portato a pensare che le cose che stanno in $K(X)\circK(X)$ hanno proprietà anche più forti degli operatori compatti, ma non ho idea di quali possano essere, voi che dite?
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà partecipare a questa discussione.
Si dimostra che la composizione di un elemento di $L(X)$ e uno di $K(X)$ sta in $K(X)$ indipendentemente dall'ordine di composizione, questo si dice in questo modo "$K(X)$ è un ideale bilatero dell'algebra $(L(X),+,\circ)$".
Le mie domande sono queste: si sa qualcosa del quoziente? Cioè $(L(X))/(K(X))$ è un oggetto studiato? Direi che dato che $K(X)$ è chiuso (ovviamente rispetto alla norma operatoriale) per lo meno il quoziente è $T_2$, inoltre è connesso, anche per archi, ma cos'altro si può dire?
Poi è stato considerato il problema di determinare (magari esplicitamente) un ideale massimale di $L(X)$ che contiene $K(X)$?
Poi un'ultima cosa: per quanto detto $K(X)\circK(X)\subseteq K(X)$ (spero si capisca cosa intendo), ma vale l'inclusione stretta o l'uguaglianza? Io penserei la prima e sono portato a pensare che le cose che stanno in $K(X)\circK(X)$ hanno proprietà anche più forti degli operatori compatti, ma non ho idea di quali possano essere, voi che dite?
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà partecipare a questa discussione.
Risposte
E' una domanda difficile: https://math.stackexchange.com/question ... -look-like e https://en.wikipedia.org/wiki/Calkin_algebra
Grazie mille intanto per questi riferimenti, gli darò un occhiata prossimamente.
Mi ricorda un post di Tim Gowers in cui parla della ricerca dello "spazio di Banach più brutto possibile". Con il linguaggio di questo thread, lo spazio più brutto possibile è tale che \(L(X)/K(X)=\mathbb K\). È un problema immensamente difficile, che mi pare sia stato pure risolto (dovrei rileggermi il post).
Mi sono piaciuti i link di fmnq, grazie.
Mi sono piaciuti i link di fmnq, grazie.
Grazie anche a te dissonance, leggerò anche il tuo link appena posso. Ma per quanto riguarda l'ultima domanda qualcuno mi sa dire qualcosa? Cioè quella sulla composizione di operatori compatti.
Credo proprio che \(K(X)K(X)=K(X)\) se \(X\) è uno spazio di Hilbert;
https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition
(si può sempre prendere la radice quadrata della parte positiva di un operatore). Penso che sia vero anche se \(X\) è uno spazio di Banach.
In conclusione, non mi aspetto proprietà speciali per \(K(X)K(X)\).
https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition
(si può sempre prendere la radice quadrata della parte positiva di un operatore). Penso che sia vero anche se \(X\) è uno spazio di Banach.
In conclusione, non mi aspetto proprietà speciali per \(K(X)K(X)\).
"dissonance":
Credo proprio che \(K(X)K(X)=K(X)\) se \(X\) è uno spazio di Hilbert;
https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition
(si può sempre prendere la radice quadrata della parte positiva di un operatore). Penso che sia vero in generale e non mi aspetto proprietà speciali per \(K(X)K(X)\).
Penso che valga la pena dare un'occhiata anche al libro di Halmos per queste cose, A Hilbert Space Problem Book.
Ho letto un po' i link che i avete mandato e diciamo che ci ho capito il giusto, comunque ho trovato su Wikipedia che questo ideale È massimale ("maximal norm-closed ideal"), cosa che non mi sarei aspettato, e poi dice che quindi l'algebra di Calkin è semplice. Questa cosa non mi torna tanto, non dovrebbe essere un campo il quoziente per un ideale massimale? Ho pensato che forse è perché si sta parlando di algebre e non di anelli, ma non posso vedere $L(X)$ anche come anello e quindi in quoziente dovrebbe essere un campo? In cosa differiscono sostanzialmente i quozienti di algebre con quelli di anelli?
Riguardo alla cosa che ha detto dissonance sulla decomposizione polare, ammetto di non averla capita tanto bene ma quindi di ogni operatore compatto si può fare la radice quadrata? E questa radice quadrata è ancora un operatore compatto?
EDIT: P.S. C'è un modo facile per vedere che è un ideale massimale?
Riguardo alla cosa che ha detto dissonance sulla decomposizione polare, ammetto di non averla capita tanto bene ma quindi di ogni operatore compatto si può fare la radice quadrata? E questa radice quadrata è ancora un operatore compatto?
EDIT: P.S. C'è un modo facile per vedere che è un ideale massimale?
"otta96":
[...] Riguardo alla cosa che ha detto dissonance sulla decomposizione polare, ammetto di non averla capita tanto bene ma quindi di ogni operatore compatto si può fare la radice quadrata? E questa radice quadrata è ancora un operatore compatto? [...]
La radice quadrata esiste sempre per operatori positivi; per vederlo bisogna lavorare un po', si usa il calcolo funzionale. Nel caso di operatori anche compatti è (molto) più facile perché vale il teorema spettrale (sostanzialmente nel senso dell'algebra lineare) e quindi operi su autovalori e autovettori.
"otta96":
In cosa differiscono sostanzialmente i quozienti di algebre con quelli di anelli?
Gli anelli sono $ZZ$-algebre, e $ZZ$ è un anello particolare che dà alla categoria delle sue algebre proprietà particolari. Per capire come cambiano le proprietà di una $k$-algebra al cambiare dell'anello $k$ basta già prendere l'esempio di $k$ campo: come conseguenza del teorema di Wedderburn, le $k$-algebre di dimensione finita su un campo finito sono tutte estensioni di quel campo (e in particolare sono campi anche loro -e quindi non hanno ideali non banali).
E le algebre di dimensione finita su $RR$, che sono anche corpi, sono pochissime, come conseguenza di un fatto di teoria dell'omotopia delle sfere (sebbene sia possibile dimostrare il fatto senza farci ricorso).
Questo per dire che le $k$-algebre cui chiedi di essere anelli molto belli possono poi avere proprietà imprevedibili: sono tante e controllabili facilmente da un parametro (la dimensione come estensioni di $QQ$ o di $\mathbb F_p$) oppure pochissime, per ragioni imperscrutabili, che nulla hanno a che fare con qualcosa di algebrico. In generale la situazione peggiora ancora di più: prendi ad esempio un $k[G]$-modulo, ossia una rappresentazione di $G$, per il tuo gruppo $G$ preferito; sai dire, esprimendo la risposta in funzione solo di $k$ e di $G$, quali moduli hanno una struttura di algebra? Lo sai dire quando $G$ è il gruppo banale?
Quanto alla radice quadrata, l'idea è molto semplice; se \(K\) è un operatore compatto allora esso ammette una decomposizione polare
\[
K=SM, \]
dove \(S\) ("segno") è una specie di operatore unitario e \(M\) ("modulo") è un operatore simmetrico e semidefinito positivo. L'operatore \(M\) ammette almeno una radice quadrata, che è a sua volta un operatore compatto; e quindi
\[
K=S\sqrt{M}\,\sqrt{M},\]
perciò \(K\) è il prodotto di due operatori compatti.
\[
K=SM, \]
dove \(S\) ("segno") è una specie di operatore unitario e \(M\) ("modulo") è un operatore simmetrico e semidefinito positivo. L'operatore \(M\) ammette almeno una radice quadrata, che è a sua volta un operatore compatto; e quindi
\[
K=S\sqrt{M}\,\sqrt{M},\]
perciò \(K\) è il prodotto di due operatori compatti.
Grazie dissonance 
Ohioi ora pure le algebre si possono fare su anelli qualsiasi, non bastavano gli spazi vettoriali? Che palle
Scherzo chiaramente, è interessante.
"fmnq":
Gli anelli sono $ZZ$-algebre, e $ZZ$ è un anello particolare che dà alla categoria delle sue algebre proprietà particolari.
Ohioi ora pure le algebre si possono fare su anelli qualsiasi, non bastavano gli spazi vettoriali? Che palle
Scherzo chiaramente, è interessante.
"otta96":
Ohioi ora pure le algebre si possono fare su anelli qualsiasi
Sono i monoidi che si possono definire in una categoria monoidale qualsiasi: se $(\mathcal C, \otimes)$ è monoidale, un monoide interno è un oggetto $M$ tale che esistano delle mappe $m : M\otimes M\to M$ e $u : I\to M$ tali che
\[
\begin{CD}
M\otimes M\otimes M @>1\otimes m>> M\otimes M \\
@Vm\otimes 1VV @VVmV \\
M\otimes M @>>m> M
\end{CD}
\begin{CD}
I\otimes M @>u\otimes 1>> M\otimes M @<1\otimes u<< M \otimes I\\
@V\wr VV @VVmV @VV\wr V\\
M @= M @= M
\end{CD}
\] siano commutativi (si legge "$m$ è associativa, e $u$ sceglie un elemento neutro per l'operazione definita da $m$").
Se $\mathcal C$ è $k\text{-Mod}$, e $\otimes$ è il prodotto tensoriale di moduli, i monoidi interni sono esattamente le $k$-algebre. La stessa definizione ti dà la giusta nozione di algebra in luoghi vicini e lontani da $k\text{-Mod}$: per esempio, se $\mathcal C$ è la categoria degli spazi di Banach, ottieni la nozione di algebra di Banach, e la richiesta che valga $\|xy\|\le\|x\|\cdot \|y\|$ segue da come hai definito $\otimes$ e da come hai definito i morfismi di spazi di Banach.
No vabbè ora mi hai perso completamente, fino alle algebre sugli anelli ci potevo più o meno arrivare, ma qui no.
La definizione di categoria non ha prerequisiti; quella di categoria monoidale presuppone che tu abbia semplicemente familiarità con l'algebra lineare. Credo in te.
La definizione di categoria l'avevo anche già letta e capita tempo fa, magari ci provo anche con quella di categoria monoidale, comunque avresti per caso una referenza introduttiva alle algebre su anelli?
Beh, si tratta di argomenti classici (se io ti chiedessi un riferimento per la definizione di topologia saresti un po' in imbarazzo, no?); qualsiasi libro di algebra andrà bene. Grillet, Chevalley, l'Algebra di Bourbaki... la pagina di wikipedia contiene un po' tutte le informazioni basilari: https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_algebra
"fmnq":
e io ti chiedessi un riferimento per la definizione di topologia saresti un po' in imbarazzo, no?
Probabilmente ti consiglierei il Dugundji
[size=50]e la pagina Wikipedia di topologia[/size]
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