Dimostrare che una funzione continua è misurabile
Salve a tutti.
Non riesco a capire la dimostrazione della proposizione riportata nel titolo.
Sia $EsubeR^n$ misurabile secondo Lebesgue, $f:E->R^n$ continua in $E$.
Allora $f$ è misurabile secondo Lebesgue.
Per definizione $f$ è misurabile, se è misurabile l'insieme $E_α={x inE:f(x)>α}$ $AAα∈R$.
Per acquisire la tesi è sufficiente provare che l'insieme $E_α$ sia aperto. Fissiamo quindi $\alphainR$ , $x_0inE_α$ e proviamo che $EE\delta>0$ tale che ${x inR^n:sqrt(sum_{i=1}^n (x_i-x_(oi))^2)<\delta} =B(x_0,\delta)⊆E_α$
Adesso si applica il teorema della permanenza del segno alla funzione $f(x)-α$ che è continua, ottenendo che:
$EE\delta>0:$ $AAx inEnnB(x_0,\delta)$ risulta $f(x)-\alpha>0$
Non riesco a capire la dimostrazione della proposizione riportata nel titolo.
Sia $EsubeR^n$ misurabile secondo Lebesgue, $f:E->R^n$ continua in $E$.
Allora $f$ è misurabile secondo Lebesgue.
Per definizione $f$ è misurabile, se è misurabile l'insieme $E_α={x inE:f(x)>α}$ $AAα∈R$.
Per acquisire la tesi è sufficiente provare che l'insieme $E_α$ sia aperto. Fissiamo quindi $\alphainR$ , $x_0inE_α$ e proviamo che $EE\delta>0$ tale che ${x inR^n:sqrt(sum_{i=1}^n (x_i-x_(oi))^2)<\delta} =B(x_0,\delta)⊆E_α$
Adesso si applica il teorema della permanenza del segno alla funzione $f(x)-α$ che è continua, ottenendo che:
$EE\delta>0:$ $AAx inEnnB(x_0,\delta)$ risulta $f(x)-\alpha>0$
Risposte
Ciao Purion,
Buon anno $45^2 $ e benvenuto sul forum!
Quindi? Che cos'è che non ti è chiaro?
La questione è già stata trattata qualche anno fa, ad esempio in questo thread.
Buon anno $45^2 $ e benvenuto sul forum!
Quindi? Che cos'è che non ti è chiaro?
La questione è già stata trattata qualche anno fa, ad esempio in questo thread.
Ma scusa, gli $E_\alpha=f^(-1)(I_\alpha)$ con $I_\alpha=(\alpha,+\infty)$ sono aperti per la continuità di $f$ e gli insiemi aperti sono misurabili.
"pilloeffe":
Ciao Purion,
Buon anno $45^2 $ e benvenuto sul forum!
Quindi? Che cos'è che non ti è chiaro?
La questione è già stata trattata qualche anno fa, ad esempio in questo thread.
Ciao, buon anno anche a te!
Ho visto il thread da te linkato, e purtroppo ci sono alcuni concetti che nel corso di laurea che sto seguendo (Ingegneria) non vengono trattati. Nel thread da te linkato la dimostrazione viene fatta nel caso in cui il dominio della funzione è $RR^n$ che è aperto. Infatti se aggiungo l'ipotesi che l'insieme $E$ è aperto riesco a concludere che la tesi è vera perchè per il teorema della permanenza del segno:
(*) $EE\delta_1>0:AAx$$inEnnB(x_0,\delta_1)$ risulta $f(x)-α>0$
D'altra parte se $E$ è aperto, $x_0$ è interno ad $E$ e quindi $EE\delta_2>0:B(x_0,\delta_2)subeE$
Quindi se chiamo $\delta=min(\delta_1,\delta_2)$ posso usare l'intorno $B(x_o,\delta)$ nella (*) ed in tal caso $EnnB(x_0,\delta)=B(x_0,\delta)$. Quindi siccome tutti i punti di questo intorno sono tali che $f(x)-α>0$ si ha che $B(x_0,\delta)subeE_α$ e quindi $E_α$ è aperto.
Ecco il mio dubbio: nel caso in cui il dominio della funzione è un generico insieme misurabile, non necessariamente aperto, in che modo l'insieme $EnnB(x_0,\delta)$, fornito dal teorema della permanenza del segno, si può ridurre a un intorno sferico cosicchè $E_α$ risulti aperto? Credo che tale cosa non sia possibile perchè se considero $f:[pi/4,pi]->RR$ con legge $f(x)=cos(x)$ si ha che: $E_0={x in[pi/4,pi]:cos(x)>0}=[pi/4,pi/2[$. $E_0$ non è aperto perchè in ogni intorno di $pi/4$ ci sono punti di $RR$ \ $[pi/4,pi/2]$.
@Purion fatti questa domanda: l'insieme $E_\alpha$ dev'essere aperto dove?
Se la tua funzione è $f: E \to \RR$, vuoi che l'insieme $E_\alpha$ sia aperto dentro $E$ dominio della funzione.
Come detto anche da otta96, poiché $E_\alpha = f^(-1) ((\alpha, +\infty))$, la funzione $f$ è continua e $(\alpha, +\infty)$ è un aperto di $\RR$, allora anche $E_\alpha$ è aperto dentro $E$.
Qui entra il gioco il concetto di topologia di sottospazio. Dato $E \subset \RR^n$, diciamo che un certo insieme $A$ è aperto nella topologia di $E$ se (te la dico molto terra terra) possiamo scrivere $A = E \cap B$ dove $B$ è un aperto di $\RR^n$ (lo spazio grande).
Nell'esempio che fai tu di $f(x) = \cos(x)$, l'intervallo $[\pi/4, \pi/2 )$ è aperto dentro il sottospazio $[\pi/4, \pi]$, poiché posso scrivere: $[\pi/4, \pi/2 ) = [\pi/4, \pi] \cap (0, \pi/2)$.
Dato che tu studi ingegneria, non penso tu abbia visto chissà quanta topologia (se ne hai vista), quindi il tuo dubbio è giusto.
Se la tua funzione è $f: E \to \RR$, vuoi che l'insieme $E_\alpha$ sia aperto dentro $E$ dominio della funzione.
Come detto anche da otta96, poiché $E_\alpha = f^(-1) ((\alpha, +\infty))$, la funzione $f$ è continua e $(\alpha, +\infty)$ è un aperto di $\RR$, allora anche $E_\alpha$ è aperto dentro $E$.
Qui entra il gioco il concetto di topologia di sottospazio. Dato $E \subset \RR^n$, diciamo che un certo insieme $A$ è aperto nella topologia di $E$ se (te la dico molto terra terra) possiamo scrivere $A = E \cap B$ dove $B$ è un aperto di $\RR^n$ (lo spazio grande).
Nell'esempio che fai tu di $f(x) = \cos(x)$, l'intervallo $[\pi/4, \pi/2 )$ è aperto dentro il sottospazio $[\pi/4, \pi]$, poiché posso scrivere: $[\pi/4, \pi/2 ) = [\pi/4, \pi] \cap (0, \pi/2)$.
Dato che tu studi ingegneria, non penso tu abbia visto chissà quanta topologia (se ne hai vista), quindi il tuo dubbio è giusto.
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