Derivata integrale multiplo improprio/sensitivita' misura
Buongiorno a tutti,
spero che questo argomento sia pertinente in Analisi superiore. Mi trovo a dover calcolare la derivata (rispetto ad una variabile presente negli estremi di integrazione) di un integrale multidimensionale di una gaussiana, ossia
$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{-oo}^{d_1(x)}\int_{-oo}^{d_2(x)}...\int_{-oo}^{d_n(x)} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det(\mathbf{\Gamma})}}\exp\left(-\frac{\mathbf{y}^\top \mathbf{\Gamma}^{-1} \mathbf{y}}{2}\right)\text{d}^n \mathbf{y}\right)$
dove $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ e $\mathbf{\Gamma}$ e' una matrice definita positiva (matrice di correlazione) con $\gamma_{i,j}=\gamma_{j,i}$ e $\gamma_{i,i}=1$. Inoltre $d_i(x) = \frac{\ln x +a_i}{b_i}$ con $i=1,...,n$, $a_i\in mathbb{R}$, $b_i\in mathbb{R}_+$ e ovviamente $x\in mathbb{R}_+$.
La funzione integranda e' secondo me integrabile in quanto limitata e continua ovunque. Quindi all'occorrenza Fubini puo' essere applicato? (non sono sicuro in quanto c'e' $-\oo$ negli estremi di integrazione). Puo' essere utile? Fondamentalmente mi servirebbe una variante della Leibniz integral rule ove la funzione integranda e' in piu' variabili (ma non dipende dalla variabile rispetto alla quale devo fare la derivata).
Alternativamente, credo, il problema possa essere riformulato rispetto alla teoria della misura/probabilita'.
$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{D(x)}f(\mathbf{y})\text{d}^n \mathbf{y}\right)$
dove $D(x) = \{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n,x\in \mathbb{R}_+:\bigcap_{i=1}^n\{y_i\leq \frac{\ln x +a_i}{b_i}\}\}$e $f(\mathbf{y})$ la funzione di densita' di un vettore stochastico normale tale che $\mathbf{Y}~\mathcal{N}_n(\mathbf{0},\mathbf{\Gamma})$. Quindi l'integrale non e' nient'altro che $\mathbb{P}(\mathbf{Y}\in D(x))=\mu_\mathbf{Y}(D(x))$. Si tratta quindi di trovare la sensitivita' della misura rispetto alla regione di integrazione/evento.
Anche solo un consiglio/dritta su quale teorema o risultato usare per risolverlo sarebbe molto apprezzato.
Grazie mille,
F
spero che questo argomento sia pertinente in Analisi superiore. Mi trovo a dover calcolare la derivata (rispetto ad una variabile presente negli estremi di integrazione) di un integrale multidimensionale di una gaussiana, ossia
$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{-oo}^{d_1(x)}\int_{-oo}^{d_2(x)}...\int_{-oo}^{d_n(x)} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det(\mathbf{\Gamma})}}\exp\left(-\frac{\mathbf{y}^\top \mathbf{\Gamma}^{-1} \mathbf{y}}{2}\right)\text{d}^n \mathbf{y}\right)$
dove $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ e $\mathbf{\Gamma}$ e' una matrice definita positiva (matrice di correlazione) con $\gamma_{i,j}=\gamma_{j,i}$ e $\gamma_{i,i}=1$. Inoltre $d_i(x) = \frac{\ln x +a_i}{b_i}$ con $i=1,...,n$, $a_i\in mathbb{R}$, $b_i\in mathbb{R}_+$ e ovviamente $x\in mathbb{R}_+$.
La funzione integranda e' secondo me integrabile in quanto limitata e continua ovunque. Quindi all'occorrenza Fubini puo' essere applicato? (non sono sicuro in quanto c'e' $-\oo$ negli estremi di integrazione). Puo' essere utile? Fondamentalmente mi servirebbe una variante della Leibniz integral rule ove la funzione integranda e' in piu' variabili (ma non dipende dalla variabile rispetto alla quale devo fare la derivata).
Alternativamente, credo, il problema possa essere riformulato rispetto alla teoria della misura/probabilita'.
$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{D(x)}f(\mathbf{y})\text{d}^n \mathbf{y}\right)$
dove $D(x) = \{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n,x\in \mathbb{R}_+:\bigcap_{i=1}^n\{y_i\leq \frac{\ln x +a_i}{b_i}\}\}$e $f(\mathbf{y})$ la funzione di densita' di un vettore stochastico normale tale che $\mathbf{Y}~\mathcal{N}_n(\mathbf{0},\mathbf{\Gamma})$. Quindi l'integrale non e' nient'altro che $\mathbb{P}(\mathbf{Y}\in D(x))=\mu_\mathbf{Y}(D(x))$. Si tratta quindi di trovare la sensitivita' della misura rispetto alla regione di integrazione/evento.
Anche solo un consiglio/dritta su quale teorema o risultato usare per risolverlo sarebbe molto apprezzato.
Grazie mille,
F
Risposte
Anche qua, come nei recenti messaggi di altri utenti riguardanti problemi simili, la cosa è molto più semplice di come tu non stia pensando. Si tratta semplicemente di applicare la formula fondamentale del calcolo;
\[
\frac{d}{dz}\int_{-\infty}^{z} f(y)\, dy = f(z).\]
C'è da fare un po' di attenzione perché è un integrale multiplo, ma è un problema di calcolo, non c'è niente di avanzato. (In particolare non starti a preoccupare di Fubini vari; la funzione integranda è positiva, quindi puoi maneggiare l'integrale come ti pare. Se non fosse stata positiva, avresti dovuto controllare che essa è assolutamente integrabile, ma in realtà spesso anche su questo si tira via).
Io farei così. Siano \(z_1=d_1(x), z_2=d_2(x), \) eccetera. Sia inoltre
\[
F(z_1, z_2, \ldots, z_n):=\int_{-\infty}^{z_1}\ldots\int_{-\infty}^{z_n} f(y_1, \ldots, y_n)\, dy_1dy_2\ldots dy_n, \]
dove \(f\) è quella tua funzione integranda, la cui forma esplicita qui non serve. Per la regola della catena,
\[
\frac{d F}{dx}=\frac{\partial F}{\partial z_1}\frac{dz_1}{dx}+\ldots+\frac{\partial F}{\partial z_n}\frac{dz_n}{dx}\]
Le derivate \(\frac{dz_j}{dx}\) sono uguali a \(d'_j(x)\) per definizione. Resta da calcolare
\[\begin{split}
\frac{\partial F}{\partial z_j} &= \partial_{z_j}\int_{-\infty}^{z_1}\ldots\int_{-\infty}^{z_n} f(y_1, \ldots, y_n)\, dy\\
&= \int_{-\infty}^{z_1}\ldots\widehat{\int_{-\infty}^{z_j}}\ldots \int_{-\infty}^{z_n} f(y_1, y_2, \ldots, z_j,\ldots, y_n)\, dy_1\ldots\widehat{dy_j}\ldots dy_n.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato la formula fondamentale del calcolo integrale. La notazione \(\widehat{\cdot}\) indica che la variabile sotto il cappello va omessa. Quindi ad esempio \(dy_1\widehat{dy_2}dy_3dy_4\) significa \(dy_1dy_3dy_4\).
\[
\frac{d}{dz}\int_{-\infty}^{z} f(y)\, dy = f(z).\]
C'è da fare un po' di attenzione perché è un integrale multiplo, ma è un problema di calcolo, non c'è niente di avanzato. (In particolare non starti a preoccupare di Fubini vari; la funzione integranda è positiva, quindi puoi maneggiare l'integrale come ti pare. Se non fosse stata positiva, avresti dovuto controllare che essa è assolutamente integrabile, ma in realtà spesso anche su questo si tira via).
Io farei così. Siano \(z_1=d_1(x), z_2=d_2(x), \) eccetera. Sia inoltre
\[
F(z_1, z_2, \ldots, z_n):=\int_{-\infty}^{z_1}\ldots\int_{-\infty}^{z_n} f(y_1, \ldots, y_n)\, dy_1dy_2\ldots dy_n, \]
dove \(f\) è quella tua funzione integranda, la cui forma esplicita qui non serve. Per la regola della catena,
\[
\frac{d F}{dx}=\frac{\partial F}{\partial z_1}\frac{dz_1}{dx}+\ldots+\frac{\partial F}{\partial z_n}\frac{dz_n}{dx}\]
Le derivate \(\frac{dz_j}{dx}\) sono uguali a \(d'_j(x)\) per definizione. Resta da calcolare
\[\begin{split}
\frac{\partial F}{\partial z_j} &= \partial_{z_j}\int_{-\infty}^{z_1}\ldots\int_{-\infty}^{z_n} f(y_1, \ldots, y_n)\, dy\\
&= \int_{-\infty}^{z_1}\ldots\widehat{\int_{-\infty}^{z_j}}\ldots \int_{-\infty}^{z_n} f(y_1, y_2, \ldots, z_j,\ldots, y_n)\, dy_1\ldots\widehat{dy_j}\ldots dy_n.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato la formula fondamentale del calcolo integrale. La notazione \(\widehat{\cdot}\) indica che la variabile sotto il cappello va omessa. Quindi ad esempio \(dy_1\widehat{dy_2}dy_3dy_4\) significa \(dy_1dy_3dy_4\).
"fede.unive":
La funzione integranda e' secondo me integrabile in quanto limitata e continua ovunque.
Attenzione: questa è una grossa cavolata. Secondo questo principio, l'integrale \(\int_{-\infty}^\infty 1\, dx\) sarebbe finito. La cosa molto importante è che la Gaussiana decade esponenzialmente all'infinito. Vatti a ripassare gli integrali impropri.
"dissonance":
[quote="fede.unive"]
La funzione integranda e' secondo me integrabile in quanto limitata e continua ovunque.
Attenzione: questa è una grossa cavolata. Secondo questo principio, l'integrale \(\int_{-\infty}^\infty 1\, dx\) sarebbe finito. La cosa molto importante è che la Gaussiana decade esponenzialmente all'infinito. Vatti a ripassare gli integrali impropri.[/quote]
Innanzitutto grazie mille per la spiegazione e risposta! veramente!
Per quanto riguarda il commento sull'integrabilita', mi riferivo (implicitamente) al caso in cui fosse l'integrale fosse stato proprio (in tal caso la mia affermazione era corretta, no?).
Grazie mille
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