Calcolo integrale mediante "Teorema Dei Residui"

[davicos]

Ciao a tutti,
avrei un problema con il seguente esercizio:

"Si consideri la funzione $ f(z)=(4z)/(sen(3z) )+ (e^(iz))/(z-pi)^2 +(e^(4/z))/(2) $ .
Posto $ A:= {Rez>=-1}nn {Imz>=-1}nn{Rez + Imz<=3} $ risulta $ int_(partial A)f(z)dz=2pi(1+2i) $ "

Ora, il risultato è FALSO.
Il mio procedimento è il seguente:
la funzione ha una singolarità eliminabile, un polo doppio e una singolarità essenziale.
Le singolarità sono $ z=pi $ e $ z=0 $.
Tenendo presente che l'insieme è una regione triangolare con $ x>=-1 $ , $ y>=-1 $ e $ y<=-x +3 $ , il punto
$ z=pi $ non appartiene all'insieme pertanto nel calcolo dell'integrale non viene considerato.
Quindi:

$ int_(partial A)f(z)dz=2pii*Res_(f)(0)=2pii*lim_(z -> 0) z*[(4z)/(sen(3z) )+ (e^(iz))/(z-pi)^2 +(e^(4/z))/(2)] $

Il problema è che l'esponente dell'esponenziale del terzo addendo non si semplifica, quindi rimane $ 4/z $ e quindi non so come andare avanti.
Come procedo? Dove sbaglio?

[moccidentale]

.

[davicos]

Ciao,
grazie per la risposta. Quindi vediamo se ho capito, ho svolto ma avrei bisogno che mi confermaste lo svolgimento:

1. $ (4z)/(sen(3z)) = 4/3*1/((sen(3z))/(3z))=4/3 $ mediante limite notevole per $ zrarr 0 $


2. $ e^(iz)/((z-pi)^2)=(i^n)/(n!)e^(ipi)*1/((z-pi)^(2-n))=ie^(ipi) $ per $ n=1 $

3. $ e^(4/z)/2=1/2[(4/z)^n/(n!)]=(4^n)/(2n!)*1/z^n=2 $ per $ n=1 $

quindi

$ int_(partial A) f(z) dz =2pii[Res_(f)(0)+Res_(f)(pi)+Res_(f)(0)]=2pii[4/3+0+2]=20/3ipi $

tenendo presente che $ z=pi !in A $ quindi $ Res_(f)(pi)=0 $

Tutto corretto?

Grazie!

[moccidentale]

.

[davicos]

Ciao,

circa la singolarità eliminabile del primo addendo non capisco dove sbaglio. A livello concettuale o cosa?
Non capisco il calcolo che hai fatto tu.

Sviluppando in serie di Laurent mi viene:

$ 4z1/(((-1)^n)/((2n+1)!)*(3z)^(2n+1))=4z((2n+1)!)/((-1)^n*(3z)^(2n+1)) = $

$ =(4(2n+1)!)/(3^(2n+1)*(-1)^n)*z/(z^(2n+1))=(4(2n+1)!)/(3^(2n+1)*(-1)^n)*1/(z^(2n+1)*z^(-1)) $

$ =(4(2n+1)!)/(3^(2n+1)*(-1)^n)*1/(z^(2n)) $

quindi
per $ n=0rarr 4/3 $
per $ n=1rarr -24/9*1/z^2 $

e per $ n $ crescenti l'esponente aumenta quindi si ha la parte principale con infiniti termini che porta ad una singolarità essenziale.
Però se mi dici che non è così allora proprio non so dove sbaglio.

Per quanto riguarda il calcolo degli altri addendi come l'ho svolto io è corretto?

Grazie!