Calcolo delle Variazione:Esercizio esistenza e unicità di un minimo
Salve,se non vi reca disturbo,avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio sui metodi diretti,ho molti dubbi perciò sono partito dal semplice,spero che voi mi possiate aiutare.
Ecco l'esercizio :
Verificare che esista
$ min{F(u)|uinC^1[0,10]}=min{int_0^2dot(u)^2|uinC^1[0,2]} $
con condizioni al bordo
$ u(0)=0 $ $u(2)=7$
e dimostrare che sia unico
Ecco come ho provato a risolvere:
1)Formulo debolmente il problema
$ Y={uinH^(1,2)|u(0)=0,u(2)=7} $
2)Compattezza.Prendo un sottolivello
$ {uinY|F(u)<=M} $
dove
$ M>=F(u)=int_0^2dot(u)^2dx $
$ M>=int_0^2dot(u)^2dx $
Se ${u_n}subeY$ con $F(u_n)<=M$,allora $ ||dot(u)||_(L^2)^2<=M $
estraggo la sotto successione debolmente convergente
\( \dot{{u}}_{n_{k}}\rightharpoonup {v_{\infty}} \)
E adesso devo fare convergere sia la funzione che la derivate e quindi:
$ |u(2)-u(0)|<=2^(1/2)||dot(u)||_(L^2)^2 $
$ ||dot(u)||_(L^2)>=(7*2^(-1/2))^(1/2) $
applico il teorema di Ascolì Arzulà e trovo che le $u_n$ in qualunque sottolivello sono continue e equilimitate e quindi $ v_(oo)(x)=dot(u)_(oo)(x) $
3)Semicontinuità:
$ lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=lim_(n->+oo) i nfint_(0)^(2)dot(u)_n^2dx>=int_(0)^(2)dot(u)_(oo)^2dx=F(u_(oo)) $
e quindi
$lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=F(u_(oo)) $
E mi fermo sempre qui perchè non so ne come verificare che:
$ u_n(0)=u_oo(0)=0$e$u_n(2)=u_(oo)(2)=7 $
ne come capire se sia o meno regolare (diciamo che ho trovato qualcosa ma non sono sicuro di aver capito)
Ecco l'esercizio :
Verificare che esista
$ min{F(u)|uinC^1[0,10]}=min{int_0^2dot(u)^2|uinC^1[0,2]} $
con condizioni al bordo
$ u(0)=0 $ $u(2)=7$
e dimostrare che sia unico
Ecco come ho provato a risolvere:
1)Formulo debolmente il problema
$ Y={uinH^(1,2)|u(0)=0,u(2)=7} $
2)Compattezza.Prendo un sottolivello
$ {uinY|F(u)<=M} $
dove
$ M>=F(u)=int_0^2dot(u)^2dx $
$ M>=int_0^2dot(u)^2dx $
Se ${u_n}subeY$ con $F(u_n)<=M$,allora $ ||dot(u)||_(L^2)^2<=M $
estraggo la sotto successione debolmente convergente
\( \dot{{u}}_{n_{k}}\rightharpoonup {v_{\infty}} \)
E adesso devo fare convergere sia la funzione che la derivate e quindi:
$ |u(2)-u(0)|<=2^(1/2)||dot(u)||_(L^2)^2 $
$ ||dot(u)||_(L^2)>=(7*2^(-1/2))^(1/2) $
applico il teorema di Ascolì Arzulà e trovo che le $u_n$ in qualunque sottolivello sono continue e equilimitate e quindi $ v_(oo)(x)=dot(u)_(oo)(x) $
3)Semicontinuità:
$ lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=lim_(n->+oo) i nfint_(0)^(2)dot(u)_n^2dx>=int_(0)^(2)dot(u)_(oo)^2dx=F(u_(oo)) $
e quindi
$lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=F(u_(oo)) $
E mi fermo sempre qui perchè non so ne come verificare che:
$ u_n(0)=u_oo(0)=0$e$u_n(2)=u_(oo)(2)=7 $
ne come capire se sia o meno regolare (diciamo che ho trovato qualcosa ma non sono sicuro di aver capito)
Risposte
Come detto altrove, non c'è bisogno ogni volta di rifare i conti.
L'esistenza, la regolarità e l'unicità del minimo seguono da teoremi classici, i cui prototipi sono riportati in questo post.
L'equazione di E-L fornisce $ddot(u)(x)=0$, cosicché il minimo è assunto sull'unica funzione affine $u(x)=mx+q$ il cui grafico passa per i punti $(0,0)$ e $(2,7)$, i.e. su $\bar(u)(x)=7/2 x$.
Il minimo di $F$ è ovviamente $49/2$.
L'esistenza, la regolarità e l'unicità del minimo seguono da teoremi classici, i cui prototipi sono riportati in questo post.
L'equazione di E-L fornisce $ddot(u)(x)=0$, cosicché il minimo è assunto sull'unica funzione affine $u(x)=mx+q$ il cui grafico passa per i punti $(0,0)$ e $(2,7)$, i.e. su $\bar(u)(x)=7/2 x$.
Il minimo di $F$ è ovviamente $49/2$.
Grazie,ho riletto il post,ma cio che mi lascia alcuni dubbi è proprio l'esistenza,se non ti dispiace potresti rispiegarmi questo punto?
L'integrando $f(x,u,\xi) := \xi^2$ soddisfa una minorazione del tipo $f(x,u,\xi)\geq \alpha |\xi|^p + \beta |u|^q + \gamma$ con $\alpha=1$, $\beta , \gamma=0$, $p=2$ e $q=1$ . Quindi il teorema citato nell'altro post si applica e ti fornisce "gratis" l'esistenza del minimo del problema debole ambientato in $X:=u_0+W_0^{1,2}(0,2)$ (con $u_0$ funzione scelta arbitrariamente tra quelle che soddisfano le condizioni al bordo, ad esempio $u_0(x)=7/2 x$).
L'unicità del minimo segue dalla stretta convessità della funzione $\xi\mapsto f(x,u,\xi)=\xi^2$.
La regolarità dal fatto che l'integrando è una funzione analitica.
L'unicità del minimo segue dalla stretta convessità della funzione $\xi\mapsto f(x,u,\xi)=\xi^2$.
La regolarità dal fatto che l'integrando è una funzione analitica.
Ma \( \alpha,\beta,\gamma \) come vengono calcolate?
A occhio.
Quindi nell'esempio di prima \( \beta=0 \) ?
Ovvio... E c'è pure scritto.
Ma l'esistenza di un minimo dipende anche dalle condizioni al bordo giusto?
e se sì in che modo?
e se sì in che modo?
Leggiti per bene l'enunciato del teorema di esistenza. Che ti sembra?
C'è scritto che per qualche funzione $u_0$ il teorema non vale?
C'è scritto che per qualche funzione $u_0$ il teorema non vale?
Quindi poiché $u_0$ dipende dalle condizioni al contorno anche l'esistenza stessa del minimo dipende da esse?
Ripeto...
"gugo82":
Leggiti per bene l'enunciato del teorema di esistenza. [...]
C'è scritto che per qualche funzione $u_0$ il teorema non vale?
Da quello che capisco il teorema vale per ogni $u_0$
E dunque?
Ti pare che l'esistenza del minimo dipenda dalle condizioni al bordo?
Ti pare che l'esistenza del minimo dipenda dalle condizioni al bordo?
E quindi il minimo esiste indipendentemente dalle condizioni al bordo,giusto?
Se non ti dispiace,potresti rispondere a queste ultime domande:
Il termine $q$ che appare nel teorema va ricavato con la disuguaglianza di Holder?
\( \alpha,\beta,\gamma \) possono assumere valori in $x$?(la domanda mi sorgeva perchè in un funzionale come $intu/xdx$,l'integrando sarebbe convesso se e solo se $beta<=1/x$)
Se avessi un funzionale del tipo $intsin(dot(u))dx$,poichè sparisce il termine con la potenza come si dovrebbe provare l'esistenza o non del minimo?
Se non ti dispiace,potresti rispondere a queste ultime domande:
Il termine $q$ che appare nel teorema va ricavato con la disuguaglianza di Holder?
\( \alpha,\beta,\gamma \) possono assumere valori in $x$?(la domanda mi sorgeva perchè in un funzionale come $intu/xdx$,l'integrando sarebbe convesso se e solo se $beta<=1/x$)
Se avessi un funzionale del tipo $intsin(dot(u))dx$,poichè sparisce il termine con la potenza come si dovrebbe provare l'esistenza o non del minimo?
"mklplo":
E quindi il minimo esiste indipendentemente dalle condizioni al bordo,giusto?
Se sono condizioni del tipo $u=u_0$, sì.
"mklplo":
Se non ti dispiace,potresti rispondere a queste ultime domande:
Il termine $q$ che appare nel teorema va ricavato con la disuguaglianza di Holder?
Dipende... Possono servire anche altri trucchi.
"mklplo":
\( \alpha,\beta,\gamma \) possono assumere valori in $x$?(la domanda mi sorgeva perchè in un funzionale come $intu/xdx$,l'integrando sarebbe convesso se e solo se $beta<=1/x$)
No.
Le quantità $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono costanti.
Per quanto riguarda il funzionale che citi, se non aggiungi l'intervallo base il simbolo \(\int \frac{u(x)}{x}\ \text{d} x\) non significa nulla... Il funzionale potrebbe anche non essere definito in uno spazio buono.
"mklplo":
Se avessi un funzionale del tipo $intsin(dot(u))dx$,poichè sparisce il termine con la potenza come si dovrebbe provare l'esistenza o non del minimo?
Ci si deve pensare.
Però, se non specifichi le condizioni che hai imposto, non si può dire nulla.
Ti ringrazio nuovamente per le tue risposte,per quanto riguarda l'ultimo punto provo a riformulare:
\( \int_a^bsin(\dot{u})|u \in C^1((a,b)) \) e \( \int_a^b{\frac{u}{x}}|u \in C^1((a,b)) \) ,con $u(a)=0$ e $u(b)=1$(per tutti e due i problemi)
spero che vada bene,e se non ti dispiace potresti rispondere ad un'altra domanda?
Io so che il funzionale
\( \int_a^bu-\sqrt{(1+\dot{u}^2)} |u \in C^1((a,b)) \)
ha un minimo,però quanto lo provo a dimostrare ottengo
\( u-\sqrt{1+\dot{u}^2}\geq \dot{u}+\gamma \)
che non mi sembra vera,spero nel tuo aiuto,sempre se non ti reca disturbo.
\( \int_a^bsin(\dot{u})|u \in C^1((a,b)) \) e \( \int_a^b{\frac{u}{x}}|u \in C^1((a,b)) \) ,con $u(a)=0$ e $u(b)=1$(per tutti e due i problemi)
spero che vada bene,e se non ti dispiace potresti rispondere ad un'altra domanda?
Io so che il funzionale
\( \int_a^bu-\sqrt{(1+\dot{u}^2)} |u \in C^1((a,b)) \)
ha un minimo,però quanto lo provo a dimostrare ottengo
\( u-\sqrt{1+\dot{u}^2}\geq \dot{u}+\gamma \)
che non mi sembra vera,spero nel tuo aiuto,sempre se non ti reca disturbo.
Il funzionale:
\[
I:=\int_a^b \frac{u(x)}{x}\ \text{d} x\; ,
\]
con $a
Per il funzionale:
\[
J:=\int_a^b \sin u^\prime (x)\ \text{d} x
\]
la situazione tendo a credere che la situazione sia abbastanza diversa e, forse, un po' più legata alla "geometria" dell'intervallo base.
Quello che si può dire immediatamente è che $J$ è limitato inferiormente, perché \(J\geq a-b\), quindi il problema di minimizzarlo è ben posto.
Inoltre, osservato che per ogni $n\in \NN$ "abbastanza grande" esiste una funzione $u_n$ di classe $C^1$ che soddisfa la condizione al bordo e tale che:
\[
u_n^\prime (x)= - \frac{\pi}{2} \quad \text{per } x\in [a,b-\frac{1}{n}]
\]
(ad esempio, si può prendere come $u_n$ la funzione il cui grafico è segmento che unisce i punti $A:=(a,0)$ e $P_n:=(b-1/n, -pi/2(b-a-1/n))$ raccordato in modo liscio ad un arco di parabola che unisce $P_n$ a $B:=(b,1)$); per ognuna di tali $u_n$ abbiamo:
\[
\begin{split}
J[u_n] &= \int_a^{b-1/n} \underbrace{\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)}_{{\color{red} = -1}}\ \text{d} x + \int_{b-1/n}^b \underbrace{\sin u_n^\prime (x)}_{{\color{red} \leq 1}}\ \text{d} x\\
&\leq \int_a^{b-1/n} (-1)\ \text{d} x + \int_{b-1/n}^b 1\ \text{d} x\\
&=a-b+\frac{1}{n} + \frac{1}{n}\\
&= a-b+\frac{2}{n}
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\lim_n J[u_n] = a-b
\]
per il Teorema dei Carabinieri. Quindi certamente è \(\displaystyle \inf_{u\in X} J = a-b\).
Tendo però a credere che non sempre $J$ abbia minimo in $X$ e che, anche se c'è, non sempre gli estremanti siano di classe $C^1$, poiché temo si possa fare una costruzione simile a quella del classico controesempio di Bolza del CdV.
\[
I:=\int_a^b \frac{u(x)}{x}\ \text{d} x\; ,
\]
con $a
Per il funzionale:
\[
J:=\int_a^b \sin u^\prime (x)\ \text{d} x
\]
la situazione tendo a credere che la situazione sia abbastanza diversa e, forse, un po' più legata alla "geometria" dell'intervallo base.
Quello che si può dire immediatamente è che $J$ è limitato inferiormente, perché \(J\geq a-b\), quindi il problema di minimizzarlo è ben posto.
Inoltre, osservato che per ogni $n\in \NN$ "abbastanza grande" esiste una funzione $u_n$ di classe $C^1$ che soddisfa la condizione al bordo e tale che:
\[
u_n^\prime (x)= - \frac{\pi}{2} \quad \text{per } x\in [a,b-\frac{1}{n}]
\]
(ad esempio, si può prendere come $u_n$ la funzione il cui grafico è segmento che unisce i punti $A:=(a,0)$ e $P_n:=(b-1/n, -pi/2(b-a-1/n))$ raccordato in modo liscio ad un arco di parabola che unisce $P_n$ a $B:=(b,1)$); per ognuna di tali $u_n$ abbiamo:
\[
\begin{split}
J[u_n] &= \int_a^{b-1/n} \underbrace{\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)}_{{\color{red} = -1}}\ \text{d} x + \int_{b-1/n}^b \underbrace{\sin u_n^\prime (x)}_{{\color{red} \leq 1}}\ \text{d} x\\
&\leq \int_a^{b-1/n} (-1)\ \text{d} x + \int_{b-1/n}^b 1\ \text{d} x\\
&=a-b+\frac{1}{n} + \frac{1}{n}\\
&= a-b+\frac{2}{n}
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\lim_n J[u_n] = a-b
\]
per il Teorema dei Carabinieri. Quindi certamente è \(\displaystyle \inf_{u\in X} J = a-b\).
Tendo però a credere che non sempre $J$ abbia minimo in $X$ e che, anche se c'è, non sempre gli estremanti siano di classe $C^1$, poiché temo si possa fare una costruzione simile a quella del classico controesempio di Bolza del CdV.
Ti ringrazio,quindi non c'è una regola generale per capire se un funzionale del genere presenta o meno un minimo?
Il teorema di esistenza c'è ed è quello che ti ho scritto altrove.
Tuttavia, non tutti i funzionali ne soddisfano le ipotesi e perciò non sempre il teorema si può applicare.
Tuttavia, non tutti i funzionali ne soddisfano le ipotesi e perciò non sempre il teorema si può applicare.
Ma nel caso il teorema non si puo applicare,devo sfruttare la gamma convergenza?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo