Calcolo delle Variazione:Esercizio esistenza e unicità di un minimo
Salve,se non vi reca disturbo,avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio sui metodi diretti,ho molti dubbi perciò sono partito dal semplice,spero che voi mi possiate aiutare.
Ecco l'esercizio :
Verificare che esista
$ min{F(u)|uinC^1[0,10]}=min{int_0^2dot(u)^2|uinC^1[0,2]} $
con condizioni al bordo
$ u(0)=0 $ $u(2)=7$
e dimostrare che sia unico
Ecco come ho provato a risolvere:
1)Formulo debolmente il problema
$ Y={uinH^(1,2)|u(0)=0,u(2)=7} $
2)Compattezza.Prendo un sottolivello
$ {uinY|F(u)<=M} $
dove
$ M>=F(u)=int_0^2dot(u)^2dx $
$ M>=int_0^2dot(u)^2dx $
Se ${u_n}subeY$ con $F(u_n)<=M$,allora $ ||dot(u)||_(L^2)^2<=M $
estraggo la sotto successione debolmente convergente
\( \dot{{u}}_{n_{k}}\rightharpoonup {v_{\infty}} \)
E adesso devo fare convergere sia la funzione che la derivate e quindi:
$ |u(2)-u(0)|<=2^(1/2)||dot(u)||_(L^2)^2 $
$ ||dot(u)||_(L^2)>=(7*2^(-1/2))^(1/2) $
applico il teorema di Ascolì Arzulà e trovo che le $u_n$ in qualunque sottolivello sono continue e equilimitate e quindi $ v_(oo)(x)=dot(u)_(oo)(x) $
3)Semicontinuità:
$ lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=lim_(n->+oo) i nfint_(0)^(2)dot(u)_n^2dx>=int_(0)^(2)dot(u)_(oo)^2dx=F(u_(oo)) $
e quindi
$lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=F(u_(oo)) $
E mi fermo sempre qui perchè non so ne come verificare che:
$ u_n(0)=u_oo(0)=0$e$u_n(2)=u_(oo)(2)=7 $
ne come capire se sia o meno regolare (diciamo che ho trovato qualcosa ma non sono sicuro di aver capito)
Ecco l'esercizio :
Verificare che esista
$ min{F(u)|uinC^1[0,10]}=min{int_0^2dot(u)^2|uinC^1[0,2]} $
con condizioni al bordo
$ u(0)=0 $ $u(2)=7$
e dimostrare che sia unico
Ecco come ho provato a risolvere:
1)Formulo debolmente il problema
$ Y={uinH^(1,2)|u(0)=0,u(2)=7} $
2)Compattezza.Prendo un sottolivello
$ {uinY|F(u)<=M} $
dove
$ M>=F(u)=int_0^2dot(u)^2dx $
$ M>=int_0^2dot(u)^2dx $
Se ${u_n}subeY$ con $F(u_n)<=M$,allora $ ||dot(u)||_(L^2)^2<=M $
estraggo la sotto successione debolmente convergente
\( \dot{{u}}_{n_{k}}\rightharpoonup {v_{\infty}} \)
E adesso devo fare convergere sia la funzione che la derivate e quindi:
$ |u(2)-u(0)|<=2^(1/2)||dot(u)||_(L^2)^2 $
$ ||dot(u)||_(L^2)>=(7*2^(-1/2))^(1/2) $
applico il teorema di Ascolì Arzulà e trovo che le $u_n$ in qualunque sottolivello sono continue e equilimitate e quindi $ v_(oo)(x)=dot(u)_(oo)(x) $
3)Semicontinuità:
$ lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=lim_(n->+oo) i nfint_(0)^(2)dot(u)_n^2dx>=int_(0)^(2)dot(u)_(oo)^2dx=F(u_(oo)) $
e quindi
$lim_(n->+oo) i nf(F(u_n))>=F(u_(oo)) $
E mi fermo sempre qui perchè non so ne come verificare che:
$ u_n(0)=u_oo(0)=0$e$u_n(2)=u_(oo)(2)=7 $
ne come capire se sia o meno regolare (diciamo che ho trovato qualcosa ma non sono sicuro di aver capito)
Risposte
Beh, puoi fare ciò che ritieni più utile.
Non penso di aver capito bene,ma grazie
Intendevo che, in generale, in Matematica "superiore" locuzioni tipo "devo fare così" o "devo usare questo" non rappresentano il modo corretto di ragionare.
Nel caso in esame, può darsi che se i metodi diretti non si applicano, si possano applicare metodi classici; oppure si possano fare i conti a mano; oppure no e si deve ragionare in modo completamente diverso... Il tutto senza usare minimamente le idee relative alla $Gamma$-convergenza (ad esempio, poiché non si può proprio usare).
Detto altrimenti, la Matematica (tutta, oserei dire) è abbastanza impossibile da incasellare in alternative mutuamente esclusive.
Nel caso in esame, può darsi che se i metodi diretti non si applicano, si possano applicare metodi classici; oppure si possano fare i conti a mano; oppure no e si deve ragionare in modo completamente diverso... Il tutto senza usare minimamente le idee relative alla $Gamma$-convergenza (ad esempio, poiché non si può proprio usare).
Detto altrimenti, la Matematica (tutta, oserei dire) è abbastanza impossibile da incasellare in alternative mutuamente esclusive.
Grazie,quindi è impossibile stabilire un procedimento fisso da seguire per risolvere ogni problema,giusto?
Sì, l'idea è quella... Ma mi riservodi approfondire il discorso in un altro post.
Ti ringrazio ancora.
Per curiosità,come dovrei trattare il funionale:
\( \int_0^1u-\sqrt{1+\dot{u}^2}dx|u \in C^1((0,1))|u(0)=0\wedge u(1)=\pi \)
Ho provato trattarlo come già ti ho detto,ma non mi sono trovato(non so in realtà se soddisfa le condizioni per il teorema di esistenza)
Per curiosità,come dovrei trattare il funionale:
\( \int_0^1u-\sqrt{1+\dot{u}^2}dx|u \in C^1((0,1))|u(0)=0\wedge u(1)=\pi \)
Ho provato trattarlo come già ti ho detto,ma non mi sono trovato(non so in realtà se soddisfa le condizioni per il teorema di esistenza)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo