Calcolo della trasformata di Fourier della rect

[Mente91]

z(t)=rect[cos^2(πt)]. Devo calcolare la trasformata di fourier. È vera questa dicitura? z(t)=1 se |cos^2(πt)|<=1/2 e 0 altrove?

[Sk_Anonymous]

Vedi qui, ed applica al tuo caso.

[dissonance]

"Mente91":z(t)=rect[cos^2(πt)]. Devo calcolare la trasformata di fourier. È vera questa dicitura? z(t)=1 se |cos^2(πt)|<=1/2 e 0 altrove?

Buh. Dipende dalla definizione di "rect". Non ne esiste una sola universalmente accettata, devi vedere quale convenzione si usa nella cosa che stai leggendo.

[Mente91]

"dissonance":[quote="Mente91"]z(t)=rect[cos^2(πt)]. Devo calcolare la trasformata di fourier. È vera questa dicitura? z(t)=1 se |cos^2(πt)|<=1/2 e 0 altrove?

Buh. Dipende dalla definizione di "rect". Non ne esiste una sola universalmente accettata, devi vedere quale convenzione si usa nella cosa che stai leggendo.[/quote]
Rect è una finestra rettangolare e non so come calcolarmi la serie... In teoria essendo l' argomento periodico dovrei trovarmi una serie più che una trasformata. Cioè posso vedermi la z(t) come un treno di finestre rettangolari (treno di rect) ricavate dalla periodicità del cos^2. Questo in teoria , in pratico non so farlo

[Plepp]

"Mente91":Rect è una finestra rettangolare e non so come calcolarmi la serie... In teoria essendo l' argomento periodico dovrei trovarmi una serie più che una trasformata. Cioè posso vedermi la z(t) come un treno di finestre rettangolari (treno di rect) ricavate dalla periodicità del cos^2. Questo in teoria , in pratico non so farlo

"In pratica", se definisci la $"rect"$ come il rettangolo di base e altezza $1$ centrato in $0$, cioè:
\[\text{rect}\,(x):=
\begin{cases}
1&\text{se }|x|<1/2\\
0&\text{altrimenti}
\end{cases}\ \ (=\chi_{(-1/2,1/2)})
\]
allora, tenendo presente che
\[\cos^2(\pi t)<1/2\iff t\in \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k+1/4,k+3/4)=:A\]
si ha:
\[z(t)=
\begin{cases}
1&\text{se }t\in A\\
0&\text{altrimenti}\end{cases}
\]
Ora, il rettangolo di altezza $1$ avente per base l'intervallo $(k+1/4,k+3/4)$ è (verifica, ho fatto i conti in fretta)
\[r_k(t):=\text{rect}\,(2t-2k-1)\]
per cui si ha:
\[z(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_k(t)\]
Delle $r_k$ sai fare la trasformata (parti dalla trasformata della $"rect"$ e smanetta con le proprietà della TdF). Vedi un po' tu. Se non riesci, magari fai un fischio.

EDIT: @dissonance/Delirium: oh, la $z$ non sta in $L^\text{niente}$. Come è definita in questo caso la TdF della $z$?
[ot]@dissonance: qui mi torna in mente Enricone che, verso la fine di Istituzioni 2, ci ammoniva dicendoci qualcosa del tipo "non state a piagnucolare se, all'atto pratico, la funzione da trasformare non è $L^1$, $L^2$ o $\mathcal{S}$, perché...". Il problema è che non ricordo come finì [/ot]

[dissonance]

Si si, no problemo. È come una serie di delta di Dirac, converge nel senso delle distribuzioni.

[Sk_Anonymous]

@Plepp: una funzione limitata (o più in generale una funzione a crescita lenta) definisce una distribuzione temperata, e per distribuzioni temperate la trasformata di Fourier è definita.

[Plepp]

@dissonance&Delirium: grazie ragazzi