Approssimazione lineare in spazi normati
Ciao a tutti 
Non riesco a dimostrare questo teorema riguardante l'approssimazione lineare in uno spazio normato.
Siano [tex]v_1, v_2, ... , v_n \in S[/tex] linearmente indipendenti., S spazio normato di dimensione infinita, [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
Sia [tex]V := \{v \in S \mid v= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n\}, \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R}[/tex]
Sia [tex]\Phi(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n) := || x- v || = \left \| x- \sum_{k=1}^{n} \lambda_k v_k \right \|, x \in S \setminus V, v \in V[/tex]
Sia [tex]\mu_n(x) := \underset{\lambda_1, ... ,\lambda_n}{\min} \Phi(\lambda_1, ... , \lambda_n)[/tex] (questo minimo esiste per il teorema di esistenza dell'approssimazione ottima e inoltre è unico per il teorema dell'unicità dell'approssimazione ottima se S è uno spazio normato in senso forte secondo Kreĭn)
Sia [tex]m(x) := \lim_{n\rightarrow \infty}\mu_n(x) \geq 0[/tex] (questo limite esiste sempre non negativo in quanto come conseguenza dei teoremi di esistenza e unicità dell'approssimazione ottima si ha che [tex]0 \leq \mu_{n+1}(x) \leq \mu_{n}(x), \forall n \in \mathbb{N}[/tex])
Sia infine [tex]\{v_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/tex] un sistema di vettori tale che [tex]v_1, v_2, ... , v_n \in V[/tex] siano linearmente indipendenti [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\Longrightarrow[/tex]
Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema di vettori [tex]\{v_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/tex] sia completo è che risulti [tex]m(x)=0, \forall x \in S[/tex]
Il libro afferma che la dimostrazione di questo teorema segue facilmente e quindi non la riporta, ma non capisco come dimostrarlo.
Per completezza do anche la definizione di sistema completo:
Un sistema di vettori [tex]\{v_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/tex] tale che [tex]v_1, v_2, ... , v_n \in V[/tex] siano linearmente indipendenti [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex] si dice completo [tex]:\Leftrightarrow \forall x \in S, \forall \epsilon > 0 \text{ } \exists n=n(\epsilon), \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R}: \left \| x- \sum_{k=1}^{n} \lambda_k v_k \right \| < \epsilon[/tex]
Grazie per l'attenzione
Non riesco a dimostrare questo teorema riguardante l'approssimazione lineare in uno spazio normato.
Siano [tex]v_1, v_2, ... , v_n \in S[/tex] linearmente indipendenti., S spazio normato di dimensione infinita, [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
Sia [tex]V := \{v \in S \mid v= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n\}, \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R}[/tex]
Sia [tex]\Phi(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n) := || x- v || = \left \| x- \sum_{k=1}^{n} \lambda_k v_k \right \|, x \in S \setminus V, v \in V[/tex]
Sia [tex]\mu_n(x) := \underset{\lambda_1, ... ,\lambda_n}{\min} \Phi(\lambda_1, ... , \lambda_n)[/tex] (questo minimo esiste per il teorema di esistenza dell'approssimazione ottima e inoltre è unico per il teorema dell'unicità dell'approssimazione ottima se S è uno spazio normato in senso forte secondo Kreĭn)
Sia [tex]m(x) := \lim_{n\rightarrow \infty}\mu_n(x) \geq 0[/tex] (questo limite esiste sempre non negativo in quanto come conseguenza dei teoremi di esistenza e unicità dell'approssimazione ottima si ha che [tex]0 \leq \mu_{n+1}(x) \leq \mu_{n}(x), \forall n \in \mathbb{N}[/tex])
Sia infine [tex]\{v_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/tex] un sistema di vettori tale che [tex]v_1, v_2, ... , v_n \in V[/tex] siano linearmente indipendenti [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex]
[tex]\Longrightarrow[/tex]
Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema di vettori [tex]\{v_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/tex] sia completo è che risulti [tex]m(x)=0, \forall x \in S[/tex]
Il libro afferma che la dimostrazione di questo teorema segue facilmente e quindi non la riporta, ma non capisco come dimostrarlo.
Per completezza do anche la definizione di sistema completo:
Un sistema di vettori [tex]\{v_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/tex] tale che [tex]v_1, v_2, ... , v_n \in V[/tex] siano linearmente indipendenti [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex] si dice completo [tex]:\Leftrightarrow \forall x \in S, \forall \epsilon > 0 \text{ } \exists n=n(\epsilon), \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n \in \mathbb{R}: \left \| x- \sum_{k=1}^{n} \lambda_k v_k \right \| < \epsilon[/tex]
Grazie per l'attenzione
Risposte
Innanzitutto, scegli da quale verso della dimostrazione cominciare. Io comincerei da "se \(\{v_k\}_k\) è completo, allora \(m(x) = 0\)".
Ti ringrazio, ci provo.
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