Soluzione di sistemi lineari con metodi iterativi

[alexmazz1]

Salve a tutti, vorrei sapere se sto ragionando bene. L'esercizio è il seguente:
dato il seguente metodo di iterazione $X^(k+1) = D^-1*(D+A)X^(k) +B$; con $D$ matrice diagonale $D_(ii) = A_(ii)$
Verificare se può convergere alla soluzione del sistema lineare $AX = B$ per ogni scelta dell'approssimazione iniziale $X^(0)$

Io procederei così: verificherei se la soluzione del sistema $X=A^-1B$ è punto unito della funzione di iterazione, sostituendo $X=A^-1B$ ad ogni $X$ della funzione. In teoria se ottengo un'identità il metodo dovrebbe convergere, altrimenti no. E' corretto?
Vi ringrazio in anticipo

[feddy]

Ragiona sul raggio spettrale

[alexmazz1]

Però $A$ è una matrice generica, non ho gli effettivi valori degli elementi che la compongono. Come posso quindi ragionare sul raggio spettrale della matrice di iterazione $D^−1(D+A)$ , per verificare che sia minore di 1 ?

[feddy]

Hai ragione, ho risposto di fretta.
Se prendi un punto fisso di tale iterazione, questo soddisfa $x=D^{-1}(D+A)x +b$, da cui segue subito $Ax = -Db$. Dunque, se $x$ converge a qualcosa, non è soluzione del sistema $Ax=b$

[alexmazz1]

"feddy":Hai ragione, ho risposto di fretta.
Se prendi un punto fisso di tale iterazione, questo soddisfa $x=D^{-1}(D+A)x +b$, da cui segue subito $Ax = -Db$. Dunque, se $x$ converge a qualcosa, non è soluzione del sistema $Ax=b$

Sì ok, mi trovo con quello che dici, ma aggiungerei che se la matrice $A$ ha elementi diagonali tutti pari a $-1$, avrei $D=-I$ con $I$ matrice identità. Quindi il teorema in questo caso può convergere alla soluzione del sistema $AX=b$, giusto?

[feddy]

Certo, solo nel caso in cui $D=-I_n$ si ha convergenza alla soluzione.

Oltretutto, nota che se $A$ avesse sulla diagonale un elemento uguale a zero, allora l'inversa di $D$ non esiste nemmeno.

P.S. E' la $x$ che converge, non il teorema

[alexmazz1]

Si scusami, hai ragione.
Grazie mille

[feddy]

Di nulla !