Runge kutta 2
ho le idee un pò confuse...il metodo di runge kutta cosa vuole migliorare??? mi spiego meglio:
dato un problema a valori iniziali $y'=f(x,y)$ con $y(0)=a$ definito su $[0,L]$ con L positivo l'approssimazione della derivata prima con eulero esplicito è:
$(y_(i+1)-y_(i))/(h)=f(x_i,y_i)$ i=0,1,.......n-1.
io non ho capito se il metodo di runge kutta del secondo ordine vuole migliorare l'approssimazione di $f(x,y)$ senza cambiare h, ma migliorando la formula di eulero o faccia altro....
dato un problema a valori iniziali $y'=f(x,y)$ con $y(0)=a$ definito su $[0,L]$ con L positivo l'approssimazione della derivata prima con eulero esplicito è:
$(y_(i+1)-y_(i))/(h)=f(x_i,y_i)$ i=0,1,.......n-1.
io non ho capito se il metodo di runge kutta del secondo ordine vuole migliorare l'approssimazione di $f(x,y)$ senza cambiare h, ma migliorando la formula di eulero o faccia altro....
Risposte
La spiegazione intuitiva più semplice deriva dalla interpretazione dei termini del metodo (vedi ad esempio http://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%8 ... ta_methods)
Nell'articolo è spiegato molto chiaramente che il singolo passo di integrazione tiene conto sia della derivata nel punto iniziale dell'intervallo che nei punti medi e finale.
Lo scopo di RK è, esattamente come hai detto tu, quello di "migliorare" la stima data dalla derivata prima, e lo fa con un metodo che mi verrebbe di chiamare "predittivo", "feed forward" o diciture simili.
Per capirlo in modo semplice (la derivazione di RK è complessa e si fatica a distinguere il concetto base dalla pura derivazione matematica) si può analizzare il più simile metodo di Heun che è basato sugli stessi concetti e che rappresenta un caso particolare dei metodi RK (e che ha una derivazione intuitiva).
Esso (il metodo di Heun) funziona così (fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Heun's_method):
Si parte dal metodo di Eulero diretto, nel quale il passo di integrazione viene così riscritto:
$y_{i+1}=1/2(a + b)h$
dove:
$a=f(x_i, y_i)$ (che si conosce esattamente)
e
$b=f(x_{i+1}, y_{i+1})$ (dove $y_{i+1}$ è incognito ed è da stimare)
Per la stima di $y_{i+1}$ si usa ancora lo stesso Eulero diretto:
$y'_{i+1}-=f(x_i, y_i)h$
Quest'ultima formula è la parte "predittiva" di cui sopra.
In questo caso si è usata una stima di y alla fine dell'intervallo di integrazione; RK usa anche una stima a metà dell'intervallo di integrazione, in modo più sofisticato (la sofisticazione è data dai pesi), ma usando lo stesso principio.
Nell'articolo è spiegato molto chiaramente che il singolo passo di integrazione tiene conto sia della derivata nel punto iniziale dell'intervallo che nei punti medi e finale.
Lo scopo di RK è, esattamente come hai detto tu, quello di "migliorare" la stima data dalla derivata prima, e lo fa con un metodo che mi verrebbe di chiamare "predittivo", "feed forward" o diciture simili.
Per capirlo in modo semplice (la derivazione di RK è complessa e si fatica a distinguere il concetto base dalla pura derivazione matematica) si può analizzare il più simile metodo di Heun che è basato sugli stessi concetti e che rappresenta un caso particolare dei metodi RK (e che ha una derivazione intuitiva).
Esso (il metodo di Heun) funziona così (fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Heun's_method):
Si parte dal metodo di Eulero diretto, nel quale il passo di integrazione viene così riscritto:
$y_{i+1}=1/2(a + b)h$
dove:
$a=f(x_i, y_i)$ (che si conosce esattamente)
e
$b=f(x_{i+1}, y_{i+1})$ (dove $y_{i+1}$ è incognito ed è da stimare)
Per la stima di $y_{i+1}$ si usa ancora lo stesso Eulero diretto:
$y'_{i+1}-=f(x_i, y_i)h$
Quest'ultima formula è la parte "predittiva" di cui sopra.
In questo caso si è usata una stima di y alla fine dell'intervallo di integrazione; RK usa anche una stima a metà dell'intervallo di integrazione, in modo più sofisticato (la sofisticazione è data dai pesi), ma usando lo stesso principio.
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