Quadratura di gauss

[Galager]

ciao a tutti stavo stiudiando le formule di quadrature gaussiane e ho capito questo: se I=[−1,1] bisogna utilizzare come nodi gli zeri del polinomio di legendre di grado pari al numero dei nodi utilizzati. Dopodichè si calcolano i coefficienti di lagrange in modo da ottenere lil polinomio interpolante quei nodi e si integra quest'ultimo.

Non mi è chiaro però cosa fare se l'intervallo è diverso da [-1,1] ad esempio [0,1] o [-1,0]

[feddy]

Devi utilizzare la trasformazione che mappa l'intervallo di interesse $[a,b]$ in $[-1,1]$, e lì poi applicare la tua formula di quadratura. In 1D, la trasformazione è $T(y)=\frac{b-a}{2} y + \frac{a+b}{2}$. Devi solamente fare un cambio di variable. Quindi $\int_b^a f(x)=\int_{-1}^{1} f(T(y)) \frac{b-a}{2} dy$, e questo integrale lo sai calcolare tramite quadratura.

Questa tecnica, ricondursi ad un intervallo di riferimento, è di fondamentale importanza nella pratica. Ad esempio, nel metodo agli elementi finiti, in 2D, ci riconduciamo sempre a calcolare integrali in un triangolo di vertici $(0,0),(1,0),(0,1)$, invece che calcolare l'integral su un generico triangolo nel piano. Nel nostro triangolo di riferimento conosciamo i punti di quadratura, i pesi e possiamo calcolare l'integrale semplicemente con un cambio di variabile. Come avrai intuito, l'analogia nel tuo caso è che il triangolo generale fa le veci di $[a,b]$, mentre quello di riferimento si riferisce (scusa il gioco di parole) a $[-1,1]$.