Metodo delle differenze finite
Il mio telefono non mi aiuta, perdonatemi
Ho un'equazione differenziale da risolvere col metodo delle differenze finite, facciamo sia z nel piano definita nel contorno rettangolare. Se per esempio volessi calcolare con tale metodo la derivata quarta secondo y dovrei scriverla come differenza di 5 valori:
$ (partial^4z3)/(partial y^4) = z1-4z2+6z3-4z4+z5 $
z3 è il pallino blu, z5 è fuori dal contorno rettangolare
Ora io avrei un equazione per ogni nodo interno al contorno ma le incognite sarebbero di più, in z5 infatti non scrivo un equazione ma z5 sarà un incognita.
Per fissare le idee z=5 sul contorno rettangolare
E sia z regolata dall'equazione:
$ (partial^4z)/(partial y^4) + (partialz)/(partial x) =7 $
Mi sbaglio o non si può giungere ad una soluzione?
Ho un'equazione differenziale da risolvere col metodo delle differenze finite, facciamo sia z nel piano definita nel contorno rettangolare. Se per esempio volessi calcolare con tale metodo la derivata quarta secondo y dovrei scriverla come differenza di 5 valori:
$ (partial^4z3)/(partial y^4) = z1-4z2+6z3-4z4+z5 $
z3 è il pallino blu, z5 è fuori dal contorno rettangolare
Ora io avrei un equazione per ogni nodo interno al contorno ma le incognite sarebbero di più, in z5 infatti non scrivo un equazione ma z5 sarà un incognita.
Per fissare le idee z=5 sul contorno rettangolare
E sia z regolata dall'equazione:
$ (partial^4z)/(partial y^4) + (partialz)/(partial x) =7 $
Mi sbaglio o non si può giungere ad una soluzione?
Risposte
Però aggiungendo una condizione sulla derivata direzionale lungo al contorno (derivata con direzione normale al contorno) la soluzione dovrebbe essere fattibile
Se fallisci coi tuoi studi hai sicuramente un futuro come artista moderno.
Battute a parte, quando il tuo schema va fuori dal bordo in questo modo puoi utilizzare uno schema di ordine inferiore vicino al bordo oppure - meglio - utilizzare uno schema decentrato.
[xdom="Raptorista"]In ogni caso, questa discussione è materia di analisi numerica, quindi la porto nel mio regno adesso.[/xdom]
Battute a parte, quando il tuo schema va fuori dal bordo in questo modo puoi utilizzare uno schema di ordine inferiore vicino al bordo oppure - meglio - utilizzare uno schema decentrato.
[xdom="Raptorista"]In ogni caso, questa discussione è materia di analisi numerica, quindi la porto nel mio regno adesso.[/xdom]
Con quello decentrato non esco comunque dal bordo ma nella parte superiore della figura?
Per schema di ordine inferiore vicino al bordo che intendi?
Per schema di ordine inferiore vicino al bordo che intendi?
"antonio9992":
Con quello decentrato non esco comunque dal bordo ma nella parte superiore della figura?
Esci se utilizzi uno schema troppo decentrato!
"antonio9992":
Per schema di ordine inferiore vicino al bordo che intendi?
Uno schema che necessita meno punti.
Scusa forse ho capito male io il metodo, ma non c'è comunque bisogno di 5 punti, altrimenti come lo scrivo?
Se non uso le equazioni nei pressi dei bordi non ho comunque un numero di equazioni minore del numero di incognite?
Se non uso le equazioni nei pressi dei bordi non ho comunque un numero di equazioni minore del numero di incognite?
Uno schema alle differenze finite approssima la derivata in un punto utilizzando un certo numero di punti intorno ad esso. Se vuoi usare uno schema a 5 punti, puoi usare il punto stesso e 2 punti su ogni lato. Se non hai 2 punti su ogni lato ma ne hai 1 e 3 allora usa uno schema a 5 punti che ne usa 1 e 3. Se ne hai 0 e 4, idem.
Se non hai 5 punti in fila, non puoi usare uno schema a 5 punti.
Se non hai 5 punti in fila, non puoi usare uno schema a 5 punti.
Si ok, ma qualsiasi schema uso il numero di incognite sarà maggiore del numero di equazioni.
A destra, a sinistra, sopra, sotto e centrato, comunque in prossimità di parte del bordo non ho equazioni, se prendo uno schema a destra non le ho in prossimità del bordo destro per esempio, ed anche col centrato ho problemi.
A destra, a sinistra, sopra, sotto e centrato, comunque in prossimità di parte del bordo non ho equazioni, se prendo uno schema a destra non le ho in prossimità del bordo destro per esempio, ed anche col centrato ho problemi.
La tua equazione avrà pure delle condizioni al bordo, altrimenti non c'è speranza nemmeno per il problema continuo.
Non ho capito
È ora di prendere in mano un libro.
"Raptorista":
È ora di prendere in mano un libro.
No non prendermi in giro, tu parli di problema continuo, il problema è lo stesso, continuo o per differenze finite, non lo dico di solito ma tu l'hai detto a me e mi stai facendo perdere tempo: è ora che tu prenda in mano il libro.
E poi ho ragione sulla questione, vuoi solo sviare.
Lasciavi rispondere qualcuno che mi volesse aiutare invece di farci perdere tempo.
"Raptorista":
La tua equazione avrà pure delle condizioni al bordo, altrimenti non c'è speranza nemmeno per il problema continuo.
Si, io ho definito delle condizioni al bordo.
Se vuoi posso smettere di scrivere e lasciare spazio a "qualcuno che ti vuole aiutare"; non so se hai notato in quanti si sono accalcati.
Però preferisco dimostrarti che non hai ragione, visto che ovviamente posso.
Qualunque cosa succeda, se hai \(N\) nodi di griglia scriverai \(N\) equazioni, una per ogni nodo di griglia.
Per i nodi \(x_j\) dove hai assegnato il dato al bordo l'equazione corrispondente deve riflettere il dato al bordo, e.g. \(x_j = x_D\) per un dato di Dirichlet \(x_D\) noto.
Per ciascun nodo interno, poi, scriverai un'equazione con uno stencil a differenze finite. Se vuoi un'approssimazione del quinto ordine, ti serviranno almeno 5 nodi. È abbastanza evidente che dove hai abbastanza nodi sopra/sotto o a destra/sinistra puoi usare uno schema centrato; nei nodi dove ne hai uno solo a destra userai uno schema che usa più nodi a sinistra e via così.
Però preferisco dimostrarti che non hai ragione, visto che ovviamente posso.
Qualunque cosa succeda, se hai \(N\) nodi di griglia scriverai \(N\) equazioni, una per ogni nodo di griglia.
Per i nodi \(x_j\) dove hai assegnato il dato al bordo l'equazione corrispondente deve riflettere il dato al bordo, e.g. \(x_j = x_D\) per un dato di Dirichlet \(x_D\) noto.
Per ciascun nodo interno, poi, scriverai un'equazione con uno stencil a differenze finite. Se vuoi un'approssimazione del quinto ordine, ti serviranno almeno 5 nodi. È abbastanza evidente che dove hai abbastanza nodi sopra/sotto o a destra/sinistra puoi usare uno schema centrato; nei nodi dove ne hai uno solo a destra userai uno schema che usa più nodi a sinistra e via così.
"Raptorista":
Se vuoi posso smettere di scrivere e lasciare spazio a "qualcuno che ti vuole aiutare"; non so se hai notato in quanti si sono accalcati.
Però preferisco dimostrarti che non hai ragione, visto che ovviamente posso.
Qualunque cosa succeda, se hai \(N\) nodi di griglia scriverai \(N\) equazioni, una per ogni nodo di griglia.
Per i nodi \(x_j\) dove hai assegnato il dato al bordo l'equazione corrispondente deve riflettere il dato al bordo, e.g. \(x_j = x_D\) per un dato di Dirichlet \(x_D\) noto.
Per ciascun nodo interno, poi, scriverai un'equazione con uno stencil a differenze finite. Se vuoi un'approssimazione del quinto ordine, ti serviranno almeno 5 nodi. È abbastanza evidente che dove hai abbastanza nodi sopra/sotto o a destra/sinistra puoi usare uno schema centrato; nei nodi dove ne hai uno solo a destra userai uno schema che usa più nodi a sinistra e via così.
Si questo è quello che dicevo io in contraddizione con quello che dicevi tu.
Questo è quello che ho scritto io fin dall'inizio... -.-''
Va beh, almeno hai capito qualcosa stavolta?
Va beh, almeno hai capito qualcosa stavolta?
"Raptorista":
Questo è quello che ho scritto io fin dall'inizio... -.-''
Va beh, almeno hai capito qualcosa stavolta?
Potete chiudere
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