Max / min con lagrange - kuhn tucker
sto preparando l'esame di programmazione matematica alias ricerca operativa.
non ho capito nulla per quanto riguarda la ricerca di massimi e minimi di una funzione di due variabili soggetta a vincoli o di uguaglianza o disuguaglianza o entrambi. per esempio:
determinare i punti stazionari, i massimi e i minimi assoluti (se ci sono) e i moltiplicatori di:
x^3 + y^2
soggetta ai vincoli:
x^2 - y^2 <= 1; x >= 1/4
come si risolvono questi esercizi?
non ho capito nulla per quanto riguarda la ricerca di massimi e minimi di una funzione di due variabili soggetta a vincoli o di uguaglianza o disuguaglianza o entrambi. per esempio:
determinare i punti stazionari, i massimi e i minimi assoluti (se ci sono) e i moltiplicatori di:
x^3 + y^2
soggetta ai vincoli:
x^2 - y^2 <= 1; x >= 1/4
come si risolvono questi esercizi?
Risposte
Non hai fatto Analisi II, o l'equivalente di ora? E' uno standard esercizio di massimi e minimi vincolati.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
http://www.llussardi.it
so come funziona il metodo classico ovvero senza moltiplicatori e senza vincoli. in pratica, si imposta il sistema composto dalle derivate parziali prime uguagliate a zero: è la condizione necessaria.
si troveranno i punti stazionari. poi si determina la matrice hessiana e si trova una funzione. si introducono i punti stazionari di prima nell'hessiano e si trovano dei valori. si considerano solo quelli >0.
sono i potenziali massimi o minimi: per vedere il minimo, ad esempio, si considera la derivata parziale seconda rispetto a x, e si introduce nella funzione così trovata i punti dove l'hessiano era positivo. se trovo un valore negativo, quello è un massimo, altrimenti è un minimo.
come si fa a risolvere un esercizio tipo quello che ho scritto nel primo post?
si troveranno i punti stazionari. poi si determina la matrice hessiana e si trova una funzione. si introducono i punti stazionari di prima nell'hessiano e si trovano dei valori. si considerano solo quelli >0.
sono i potenziali massimi o minimi: per vedere il minimo, ad esempio, si considera la derivata parziale seconda rispetto a x, e si introduce nella funzione così trovata i punti dove l'hessiano era positivo. se trovo un valore negativo, quello è un massimo, altrimenti è un minimo.
come si fa a risolvere un esercizio tipo quello che ho scritto nel primo post?
La trattazione generale del problema di trovare il massimo [o il minimo] di una funzione non lineare di più variabili soggetta a vincoli anch’essi non lineari è assai complessa e non esiste, almeno che io sappia, un metodo che garantisca la soluzione nella totalità dei casi. Se circoscriviamo il problema alle funzioni di due variabili [x e y] possiamo impostarlo nel seguente modo…
Trovare il massimo [o il minimo] di una funzione f(x,y) definita in un certo campo A sottoposta ad una serie di vincoli del tipo…
g1(x,y)>=0, g2(x,y)>=0,…,gk(x,y)>=0 [1]
L’insieme dei vincoli descriverà quella porzione del piano x,y nella quale si dovrà trovare il punto [xo,yo] che massimizza [o minimizza] la funzione f(x,y). Mentre nel caso lineare [ossia con la f e le g funzioni lineari di x e y] si sà che il punto cercato, se esiste, è un punto estremo [ossia è un punto in cui due dei vincoli si riducono a eguaglianze, in pratica in corrispondenza dell’angolo formato da due segmenti] nel caso non lineare la trattazione è un poco più complessa. Una strategia possibile è la seguente…
a)si trovano tutti i massimi [o minimi]relativi della funzione f(*) non vincolati
b)si determina quali dei massimi [o minimi] trovati in a) sono compatibili con i vincoli
c)si sceglie dei punti trovati in a) e b) quello al quale corrisponde il valore massimo [o minimo] di f(*) e lo si chiama [x*,y*]
d)per ognuno dei k vincoli, applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si trova il valore di x e y che massimizza [o minimizza] f(*) con la condizione gi(x,y)=0 per i=1,2,...,k. Se tale punto di massimo [o minimo] esiste ed è compatibile con gli altri vincoli lo si indica con [xk,yk]
e)supposto k>1, per ognuna delle n=k*)k-1)/2 coppie di vincoli si calcolano i punti estremi, definiti come le soluzione delle coppie di eqiazioni gi(x,y)=0,gj(x,y)=o con i<>j e si consoderano solo quelli compatibili con gli altri vincoli. Tra queli punti così trovati si sceglie quello per cui f(*) ha il valore massimo [o minimo] e lo si indica con [xm,ym] per m=1,2,...,n
f)tra i vettori a due dimensioni [x,y] trovati in c),d) ed e) si sceglie quello al quale corrisponde il valore massimo [o minimo] di f(*). Se tale punto esiste, esso sarà la soluzione del problema…
Nel caso illustrato da mica81 [non particolarmente utile come esempio…] si ha…
f(x,y)= x^3+y^2
g1(x,y)=x-1/4
g2(x,y)=y^2-x^2+1 [2]
Il problema consiste nel trovare il valore che rende massima la funxione f(*)=x^3+y^2 nei punti del piano x,y che hanno ascissa…
¼<=x<=sqr (y^2+1) [3]
… e nessun limite per l’ordinata. La ricerca del massimo assoluto di f(*) senza vincoli rivela che essa non ha massimi né minimi in nessun punto del piano x,y. La ricerca eseguita sulla retta x=1/4 [g1(*)=0] rivela un solo punto di minimo [e non di massimo] per y=0 e in essa si ha f(*)=1/64. La ricerca eseguita sulla curva y=sqr(x^2-1) [g2(*)=0] rivela che vi è un punto di minimo [e non di massimo] in [1,0], e lì la fuznione vale 1. In conclusione la fuiznione non presenta massimi e si ha un minimo in [1/4,0] che vale 1/64. In effetti il problema proposto come esempio non è dei più interessanti. Ritengo però si possa certamente fare una scelta migliore…
cordiali saluti
lupo grigio
Trovare il massimo [o il minimo] di una funzione f(x,y) definita in un certo campo A sottoposta ad una serie di vincoli del tipo…
g1(x,y)>=0, g2(x,y)>=0,…,gk(x,y)>=0 [1]
L’insieme dei vincoli descriverà quella porzione del piano x,y nella quale si dovrà trovare il punto [xo,yo] che massimizza [o minimizza] la funzione f(x,y). Mentre nel caso lineare [ossia con la f e le g funzioni lineari di x e y] si sà che il punto cercato, se esiste, è un punto estremo [ossia è un punto in cui due dei vincoli si riducono a eguaglianze, in pratica in corrispondenza dell’angolo formato da due segmenti] nel caso non lineare la trattazione è un poco più complessa. Una strategia possibile è la seguente…
a)si trovano tutti i massimi [o minimi]relativi della funzione f(*) non vincolati
b)si determina quali dei massimi [o minimi] trovati in a) sono compatibili con i vincoli
c)si sceglie dei punti trovati in a) e b) quello al quale corrisponde il valore massimo [o minimo] di f(*) e lo si chiama [x*,y*]
d)per ognuno dei k vincoli, applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si trova il valore di x e y che massimizza [o minimizza] f(*) con la condizione gi(x,y)=0 per i=1,2,...,k. Se tale punto di massimo [o minimo] esiste ed è compatibile con gli altri vincoli lo si indica con [xk,yk]
e)supposto k>1, per ognuna delle n=k*)k-1)/2 coppie di vincoli si calcolano i punti estremi, definiti come le soluzione delle coppie di eqiazioni gi(x,y)=0,gj(x,y)=o con i<>j e si consoderano solo quelli compatibili con gli altri vincoli. Tra queli punti così trovati si sceglie quello per cui f(*) ha il valore massimo [o minimo] e lo si indica con [xm,ym] per m=1,2,...,n
f)tra i vettori a due dimensioni [x,y] trovati in c),d) ed e) si sceglie quello al quale corrisponde il valore massimo [o minimo] di f(*). Se tale punto esiste, esso sarà la soluzione del problema…
Nel caso illustrato da mica81 [non particolarmente utile come esempio…] si ha…
f(x,y)= x^3+y^2
g1(x,y)=x-1/4
g2(x,y)=y^2-x^2+1 [2]
Il problema consiste nel trovare il valore che rende massima la funxione f(*)=x^3+y^2 nei punti del piano x,y che hanno ascissa…
¼<=x<=sqr (y^2+1) [3]
… e nessun limite per l’ordinata. La ricerca del massimo assoluto di f(*) senza vincoli rivela che essa non ha massimi né minimi in nessun punto del piano x,y. La ricerca eseguita sulla retta x=1/4 [g1(*)=0] rivela un solo punto di minimo [e non di massimo] per y=0 e in essa si ha f(*)=1/64. La ricerca eseguita sulla curva y=sqr(x^2-1) [g2(*)=0] rivela che vi è un punto di minimo [e non di massimo] in [1,0], e lì la fuznione vale 1. In conclusione la fuiznione non presenta massimi e si ha un minimo in [1/4,0] che vale 1/64. In effetti il problema proposto come esempio non è dei più interessanti. Ritengo però si possa certamente fare una scelta migliore…
cordiali saluti
lupo grigio
il problema non sarà dei più interessanti...ma chissà come mai era una prova scritta di un esame. guarda qui:
http://www.ing.unipi.it/~d6137/pm/21-6-04.pdf
e poi io penso che ogni esempio non sia banale per imparare a svolgere qualsiasi tipo di problemi.
http://www.ing.unipi.it/~d6137/pm/21-6-04.pdf
e poi io penso che ogni esempio non sia banale per imparare a svolgere qualsiasi tipo di problemi.
Se ti puo' interessare, guarda qui http://www.llussardi.it/esrcit.MI.pdf
Sono dispense scritte da me per le esercitazioni del Corso di Analisi B che ormai da 3 anni tengo al Politecnico di Milano. Trovi esercizi su massimi e minimi vincolati, ed anche un accenno alla Teoria.
Luca77
http://www.llussardi.it
Sono dispense scritte da me per le esercitazioni del Corso di Analisi B che ormai da 3 anni tengo al Politecnico di Milano. Trovi esercizi su massimi e minimi vincolati, ed anche un accenno alla Teoria.
Luca77
http://www.llussardi.it
utilissimi, grazie 1000!
Un problemino abbastanza interessante [credo più di quello fornito nell'esempio iniziale...] di massimizzazione può essere il seguente...
Si deve dimensionare una scatola per spedizioni postali. L’obiettivo è ottenere il massimo di volume compatibilmente con i vincoli imposti dai regolamenti postali. Questi stabiliscono che la somma delle tre quantità 2*w, 2*h ed l non superi i 100 cm [vedi figura]...
Indicando con x la larghezza, con y l’altezza e con z la lunghezza è possibile porre subito 2*x+2*y+z=100, per cui il problema alla fine si riduce al seguente…
Massimizzare
f(x,y)= 100*x*y–2*x^2*y-2*x*y^2 [1]
con le condizioni…
x>0, y>0, 50-x-y>0 [2]
Ai volonterosi auguro buon lavoro...
cordiali saluti
lupo grigio
Si deve dimensionare una scatola per spedizioni postali. L’obiettivo è ottenere il massimo di volume compatibilmente con i vincoli imposti dai regolamenti postali. Questi stabiliscono che la somma delle tre quantità 2*w, 2*h ed l non superi i 100 cm [vedi figura]...
Indicando con x la larghezza, con y l’altezza e con z la lunghezza è possibile porre subito 2*x+2*y+z=100, per cui il problema alla fine si riduce al seguente…
Massimizzare
f(x,y)= 100*x*y–2*x^2*y-2*x*y^2 [1]
con le condizioni…
x>0, y>0, 50-x-y>0 [2]
Ai volonterosi auguro buon lavoro...
cordiali saluti
lupo grigio
Non mi pare che il problema da me proposto abbia suscitato curiosità da parte di qualcuno… pazienza, darò la soluzione e proverò a cercarne un altro più interessante…
Come già illustrato nel procedimento generale si cercano da prima i massimi non vincolati e di essi si sceglie il maggiore compatibile con i vincoli. La funzione da massimizzare è…
f(x,y)= 100*x*y-2*x^2*y-2*x*y^2 [1]
Di essa si calcolano le derivate parziali e si eguagliano a zero…
df/dx= 100*y-4*x*y –2*y^2=0
df/dx= 100*x-4*x*y-2*x^2=0 [2]
Le soluzioni del sistema di due equazioni in due incognite sono x=y=0 e x=y=50/3. Alla prima corrisponde evidentemente un minino, alla seconda un massimo assoluto. Dal momento che il massimo trovato è compatibile con i vincoli la soluzione del problema è x=y=50/3 cm e z=100/3 cm cui corrisponde una scatola di x*y*z=9259.259… centimetri cubici.
cordiali saluti
lupo grigio
Come già illustrato nel procedimento generale si cercano da prima i massimi non vincolati e di essi si sceglie il maggiore compatibile con i vincoli. La funzione da massimizzare è…
f(x,y)= 100*x*y-2*x^2*y-2*x*y^2 [1]
Di essa si calcolano le derivate parziali e si eguagliano a zero…
df/dx= 100*y-4*x*y –2*y^2=0
df/dx= 100*x-4*x*y-2*x^2=0 [2]
Le soluzioni del sistema di due equazioni in due incognite sono x=y=0 e x=y=50/3. Alla prima corrisponde evidentemente un minino, alla seconda un massimo assoluto. Dal momento che il massimo trovato è compatibile con i vincoli la soluzione del problema è x=y=50/3 cm e z=100/3 cm cui corrisponde una scatola di x*y*z=9259.259… centimetri cubici.
cordiali saluti
lupo grigio
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