Matrice di gauss-seidel

[gianluca700]

mi spiegate per bene come si costruisce la matrice di gauss-seidel??
per esempio perchè la matrice
|2 0 1|
|1 0,5 0|
|1 1 1|
nella forma di gauss-seidel è uguale a:
|0 0 -0,5|
|0 0 1 |
|0 0 0,5|

[vict85]

Scusa ma la teoria l'hai almeno letta o hai letto l'argomento su wiki? Non capisco cosa esattamente non capisci. Non capisci il metodo? Quali sono i procedimenti?

[gianluca700]

"vict85":Scusa ma la teoria l'hai almeno letta o hai letto l'argomento su wiki? Non capisco cosa esattamente non capisci. Non capisci il metodo? Quali sono i procedimenti?

allora wikipedia dice che la matrice è data da (D-L)^-1 per U
D matrice diagonale;
L matrice triangolare inferiore;
U matrice triangolare superiore.
nel mio caso D è (2 0,5 1); L è (1 1 1); U è (0 0 1) è giusto??
quindi D-L=(1 -0,5 0) e la sua inversa come si fa conosco l'inversa di una matrice 2x2 o 3x3 ma questa??? sempre se sono giusti i miei ragionamenti.

[vict85]

"gianluca700":[quote="vict85"]Scusa ma la teoria l'hai almeno letta o hai letto l'argomento su wiki? Non capisco cosa esattamente non capisci. Non capisci il metodo? Quali sono i procedimenti?

allora wikipedia dice che la matrice è data da (D-L)^-1 per U
D matrice diagonale;
L matrice triangolare inferiore;
U matrice triangolare superiore.
nel mio caso D è (2 0,5 1); L è (1 1 1); U è (0 0 1) è giusto??
quindi D-L=(1 -0,5 0) e la sua inversa come si fa conosco l'inversa di una matrice 2x2 o 3x3 ma questa??? sempre se sono giusti i miei ragionamenti.[/quote]

Scusa ma quasi sembra che tu non sappia cos'è una matrice diagonale o triangolare.

$A = D - L - U$

$((2,0,1),(1,0.5,0),(1,1,1)) = ((2,0,0),(0,0.5,0),(0,0,1)) - ((0,0,0),(-1,0,0),(-1,-1,0)) - ((0,0,-1),(0,0,0),(0,0,0))$

Ora $D-L = ((2,0,0),(0,0.5,0),(0,0,1)) - ((0,0,0),(-1,0,0),(-1,-1,0)) = ((2,0,0),(1,0.5,0),(1,1,1))$.

Ora devi calcolarti l'inversa di $D-L$ che è $((0.5, 0, 0), (-1, 2, 0), (0.5, -2, 1))$ (l'ho calcolata con Walfram alpha)

Quindi hai che la matrice di Gauss-Siedel è $((0.5, 0, 0), (-1, 2, 0), (0.5, -2, 1))((0,0,-1),(0,0,0),(0,0,0)) = ((0, 0, -0.5), (0, 0, 1), (0, 0, -0.5))$

[gtsolid]

come potrei risolvere un sistema lineare con la matrice appena trovata?

in pratica il metodo di gauss-seidel consiste nel trovare la suddetta matrice $(D-L)^(-1) * U$
e poi? ho gia i coefficenti belli pronti? (cioè $x=-0.5 ; y=1 ; z=-0.5$)

[vict85]

"gtsolid":come potrei risolvere un sistema lineare con la matrice appena trovata?

in pratica il metodo di gauss-seidel consiste nel trovare la suddetta matrice $(D-L)^(-1) * U$
e poi? ho gia i coefficenti belli pronti? (cioè $x=-0.5 ; y=1 ; z=-0.5$)

e poi $\vec{x}_(n) = (D-L)^(-1) U\vec{x}_(n-1) + (D-L)^(-1)\vec{b}$

Dove $\vec{x}_(n-1)$ e $\vec{x}_(n)$ sono rispettivamente l'$(n-1)$-esima e l'$n$-esima approssimazione della soluzione, $\vec{b}$ è il vettore tale che $A\vec{x}=\vec{b}$ e il resto sono le matrici trovate prima. I prodotti sono i normali prodotti matriciali.

E' la stessa cosa di quando si cerca la radice di un'equazione non lineare.

[gtsolid]

"vict85":[quote="gtsolid"]come potrei risolvere un sistema lineare con la matrice appena trovata?

in pratica il metodo di gauss-seidel consiste nel trovare la suddetta matrice $(D-L)^(-1) * U$
e poi? ho gia i coefficenti belli pronti? (cioè $x=-0.5 ; y=1 ; z=-0.5$)

e poi $\vec{x}_(n) = (D-L)^(-1) U\vec{x}_(n-1) + (D-L)^(-1)\vec{b}$

Dove $\vec{x}_(n-1)$ e $\vec{x}_(n)$ sono rispettivamente l'$(n-1)$-esima e l'$n$-esima approssimazione della soluzione, $\vec{b}$ è il vettore tale che $A\vec{x}=\vec{b}$ e il resto sono le matrici trovate prima. I prodotti sono i normali prodotti matriciali.

E' la stessa cosa di quando si cerca la radice di un'equazione non lineare.[/quote]

da quale parto come $(n-1)$-esima approssimazione?

[vict85]

La scelta di $x_0$ ha un certa arbitrarietà. Nella mia esperienza di programmazione di algoritmi numerici ho usato gli algoritmi di questo tipo solo per migliorare la precisione della soluzione di un sistema dopo aver usato la decomposizione LU. Quindi partivo da un $x_0$ molto particolare. Ma in generale non so, mi sono interessato più dei metodi diretti. Immagino che si faccia una stima della soluzione prima di applicarlo.