Jacobi e Gauss-Seidel convergenza
Ciao a tutti, ho la seguente matrice $ ( ( 1 , 2 , -5 ),( 2 , -3 , 1 ),( 3 , 1 , 2 ) ) $
devo stabilire la convergenza dei metodi di Jacobi e Gauss Seidel (ove possibile) e se posso dire qual è il metodo più veloce: segue un mio tentativo di soluzione
- Convergenza: la matrice non è simmetrica, posso scambiare la prima e l'ultima colonna per far si che diventi a diagonale dominante (ma solo in senso debole), inoltre noto che la norma 1 è 8 (>1)... mi porta a concludere qualcosa?
avendo controllato nella pratica che nessuno dei due metodi converge, mi servirebbe negare una condizione necessaria, ma conosco solo quella legata al raggio spettrale (che in questo caso sono conti non banalissimi).
- Velocità di convergenza: sempre nella mia collezione mentale trovo solamente il criterio per matrici tridiagonali (non è il caso) quindi direi che è impossibile stabilire un ordine.
quante cose mi mancano?
devo stabilire la convergenza dei metodi di Jacobi e Gauss Seidel (ove possibile) e se posso dire qual è il metodo più veloce: segue un mio tentativo di soluzione
- Convergenza: la matrice non è simmetrica, posso scambiare la prima e l'ultima colonna per far si che diventi a diagonale dominante (ma solo in senso debole), inoltre noto che la norma 1 è 8 (>1)... mi porta a concludere qualcosa?
avendo controllato nella pratica che nessuno dei due metodi converge, mi servirebbe negare una condizione necessaria, ma conosco solo quella legata al raggio spettrale (che in questo caso sono conti non banalissimi).
- Velocità di convergenza: sempre nella mia collezione mentale trovo solamente il criterio per matrici tridiagonali (non è il caso) quindi direi che è impossibile stabilire un ordine.
quante cose mi mancano?
Risposte
Il raggio spettrale è l'unico criterio che mi venga in mente al momento [ma potrei sbagliarmi]. Le matrici \(B_{GS}\) e \(B_J\) non hanno una struttura per cui è facile calcolarne il raggio spettrale?
Sulla velocità, in generale non c'è un criterio di confronto, però nei singoli casi puoi guardare il sopracitato raggio spettrale e da quello dedurre, caso per caso, chi funziona meglio.
Sulla velocità, in generale non c'è un criterio di confronto, però nei singoli casi puoi guardare il sopracitato raggio spettrale e da quello dedurre, caso per caso, chi funziona meglio.
grazie per la risposta... sì confermo che l'unica certezza è il raggio spettrale, calcolando le norme L1 o Infinito spesso si ottengono maggiorazioni (dai conti più facili) che confermano. ma si potrebbe cadere in casi sfortunati. L'unica via sembra rompersi di conti per il raggio spettrale 
Tanto è una cosa che poi, nella pratica, spesso non si riesce a fare.
Se ti interessa ho calcolato al volo con matlab e viene 6.9423 il raggio spettrale 
criteri di facile verificabilità che confermino la divergenza non mi vengono in mente.
criteri di facile verificabilità che confermino la divergenza non mi vengono in mente.
sì sì no parlavo di una prova a mano, con matlab avevo controllato grazie mille
grazie mille
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