Fattorizzazione QR con metodo di Gram-Schmidt modificato
Salve ragazzi, ho un problema a capire l'algoritmo come da titolo. L'algoritmo in questione fornitomi e' questo:
la spiegazione dei passi fornita e':
L’algoritmo di Gram-Schmidt seleziona la colonna ii di A, ne calcola il prodotto scalare con
se stessa (R(ii, ii)) e con tutte le successive, memorizzando queste proiezioni sulla riga ii di R,
dalla posizione ii fino a fine riga (passo 1). Successivamente scala la colonna ii di A in modo
che abbia norma unitaria (passo 3), e scala la riga R del punto 1 per lo stesso fattore.
Nel passo 5, ad ogni colonna a destra della colonna selezionata viene sottratta la colonna in
esame moltiplicata per i relativo coefficiente rappresentante la sua proiezione sulla colonna ii.
Il passo 1 rappresenta il prodotto tra la trasposta di A(:, ii) con la matrice A(:, ii : n), `e
quindi il prodotto di una riga di lunghezza M con una matrice di dimensione M × N − ii − 1.
Il risultato `e un vettore riga di lunghezza N − ii − 1.
Il passo 3 `e la scalatura di un vettore colonna, mentre il passo 4 rappresenta la scalatura
di una riga.
Il passo 3 infine `e un aggiornamento di una matrice di dimensione M ×N −ii−2 utilizzando
una matrice generata dal prodotto di una colonna di lunghezza M con una riga di lunghezza
N − ii − 2 (update di rango 1).
Ho difficolta' a capire principalmente il passo 1 e anche gli altri, su internet non riesco a trovare degli esempi con matrici piccole che mi mostrino passo per passo il procedimento, in modo che possa provare e verificare che sia corretto.
Da quel che ho capito, R = NxN, A = NxM, qualcuno potrebbe fornirmi un esempio con A di dimensione 2x3 anche solo del punto 1?
la spiegazione dei passi fornita e':L’algoritmo di Gram-Schmidt seleziona la colonna ii di A, ne calcola il prodotto scalare con
se stessa (R(ii, ii)) e con tutte le successive, memorizzando queste proiezioni sulla riga ii di R,
dalla posizione ii fino a fine riga (passo 1). Successivamente scala la colonna ii di A in modo
che abbia norma unitaria (passo 3), e scala la riga R del punto 1 per lo stesso fattore.
Nel passo 5, ad ogni colonna a destra della colonna selezionata viene sottratta la colonna in
esame moltiplicata per i relativo coefficiente rappresentante la sua proiezione sulla colonna ii.
Il passo 1 rappresenta il prodotto tra la trasposta di A(:, ii) con la matrice A(:, ii : n), `e
quindi il prodotto di una riga di lunghezza M con una matrice di dimensione M × N − ii − 1.
Il risultato `e un vettore riga di lunghezza N − ii − 1.
Il passo 3 `e la scalatura di un vettore colonna, mentre il passo 4 rappresenta la scalatura
di una riga.
Il passo 3 infine `e un aggiornamento di una matrice di dimensione M ×N −ii−2 utilizzando
una matrice generata dal prodotto di una colonna di lunghezza M con una riga di lunghezza
N − ii − 2 (update di rango 1).
Ho difficolta' a capire principalmente il passo 1 e anche gli altri, su internet non riesco a trovare degli esempi con matrici piccole che mi mostrino passo per passo il procedimento, in modo che possa provare e verificare che sia corretto.
Da quel che ho capito, R = NxN, A = NxM, qualcuno potrebbe fornirmi un esempio con A di dimensione 2x3 anche solo del punto 1?
Risposte
Ho risolto, il mio unico dubbio e' che non so se il risultato sia corretto. Dovrebbe tornare 1 sulla diagonale giusto?
http://bpaste.net/show/8TNVTDSV0f4eVrJOvhMA/
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