Esercizio approssimazione polinomiale
Ciao a tutti, devo svolgere questo esercizio come esercitazione di laboratorio per analisi numerica . Tuttavia l'argomento a lezione è stato trattato mentre ero malato. Cosa s'intende per polinomio approssimante?Come si calcola?
Devo svolgere questo esercizio in python; ci sono delle funzioni del linguaggio stesso che posso utilizzare?
Devo svolgere questo esercizio in python; ci sono delle funzioni del linguaggio stesso che posso utilizzare?
Risposte
Ciao,
suppongo che si parli di interpolazione polinomiale. Un esempio "classico" dovrebbe farti comprendere la natura del problema. Supponi di misurare una certa quantità ad ogni istanti $x_i$. Ad ogni istanti $x_i$ assocerai un valore $y_i$ corrispondente alla misurazione efffettuata. L'obbiettivo è trovare una funzione, in questo caso supponiamo polinomiale, $p(x)$, tale che $p(x_i)=y_i$, ossiai interpola i vari dati, e rappresenti, per quanto meglio possibile, i dati ottenuti.
In questo caso i tuoi $y_i$ sono noti: sono esattamente il valore della funzione ad ogni nodo $x_i$. Anche gli $x_i$ sono noti: sono 256 punti equispaziati tra $[0,2 \pi]$. Dunque in MatLab corrisponde ad un linspace. In python devi usare il corrispettivo comando tramite la libreria numpy. Vedi la sintassi di np.linspace().
A partire dagli $y_i$ e $x_i$ dati dunque, cerca di approssimare $f(x)$ e $s(x)$ mediante i metodi di interpolazione polinomiale che hai studiato. Per esempio, il metodo di Newton. Prova con gradi diversi, e poi confronta l'errore.
Ovviamente, non sapendo cosa abbiate fatto a lezione, non so cosa si aspetta il tuo docente.
suppongo che si parli di interpolazione polinomiale. Un esempio "classico" dovrebbe farti comprendere la natura del problema. Supponi di misurare una certa quantità ad ogni istanti $x_i$. Ad ogni istanti $x_i$ assocerai un valore $y_i$ corrispondente alla misurazione efffettuata. L'obbiettivo è trovare una funzione, in questo caso supponiamo polinomiale, $p(x)$, tale che $p(x_i)=y_i$, ossiai interpola i vari dati, e rappresenti, per quanto meglio possibile, i dati ottenuti.
In questo caso i tuoi $y_i$ sono noti: sono esattamente il valore della funzione ad ogni nodo $x_i$. Anche gli $x_i$ sono noti: sono 256 punti equispaziati tra $[0,2 \pi]$. Dunque in MatLab corrisponde ad un linspace. In python devi usare il corrispettivo comando tramite la libreria numpy. Vedi la sintassi di np.linspace().
A partire dagli $y_i$ e $x_i$ dati dunque, cerca di approssimare $f(x)$ e $s(x)$ mediante i metodi di interpolazione polinomiale che hai studiato. Per esempio, il metodo di Newton. Prova con gradi diversi, e poi confronta l'errore.
Ovviamente, non sapendo cosa abbiate fatto a lezione, non so cosa si aspetta il tuo docente.
"feddy":
Ciao,
suppongo che si parli di interpolazione polinomiale. Un esempio "classico" dovrebbe farti comprendere la natura del problema. Supponi di misurare una certa quantità ad ogni istanti $x_i$. Ad ogni istanti $x_i$ assocerai un valore $y_i$ corrispondente alla misurazione efffettuata. L'obbiettivo è trovare una funzione, in questo caso supponiamo polinomiale, $p(x)$, tale che $p(x_i)=y_i$, ossiai interpola i vari dati, e rappresenti, per quanto meglio possibile, i dati ottenuti.
In questo caso i tuoi $y_i$ sono noti: sono esattamente il valore della funzione ad ogni nodo $x_i$. Anche gli $x_i$ sono noti: sono 256 punti equispaziati tra $[0,2 \pi]$. Dunque in MatLab corrisponde ad un linspace. In python devi usare il corrispettivo comando tramite la libreria numpy. Vedi la sintassi di np.linspace().
A partire dagli $y_i$ e $x_i$ dati dunque, cerca di approssimare $f(x)$ e $s(x)$ mediante i metodi di interpolazione polinomiale che hai studiato. Per esempio, il metodo di Newton. Prova con gradi diversi, e poi confronta l'errore.
Ovviamente, non sapendo cosa abbiate fatto a lezione, non so cosa si aspetta il tuo docente.
L'esercizio fa parte di un gruppo intitolato appunto "approssimazione polinomiale" . Teoricamente mi è abbastanza chiaro, però non riesco a capire come svolgere l'esercizio praticamente.
Ti ho scritto un'idea per risolverlo nelle ultime due/tre righe. Ma non sapendo quali metodi di interpolazione polinomiale abbiate fatto a lezione, non saprei darti altre indicazioni. Se ti è chiaro teoricamente sei apposto. Devi solo calcolare quelle interpolanti con gradi diversi e confrontare l'errore.
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