Convergenza metodi iterativi

[DaliaViola]

Save ragazzi, sto studiando analisi numerica e precisamente i metodi iterativi per ricerca di radici per equazioni non lineari, stavo cercando di capire il significato di velocità di convergenza, è collegato all'errore? Non capisco cosa c'è alla base...

Grazieeeee!!!
Ciaoooo

[DaliaViola]

Ciao, intanto grazie per la risposta!!! Quello che non mi torna è come mai posso avere errori di arrotondamento? Cioè da cosa mi sono dati?

[DaliaViola]

Grazie milleeeee!!! Veramente molto chiaro e gentile!!! Mi hai illuminato!!! Grazie grazie grazie!!!! Ciaoooooooooooo!!!

[Raptorista1]

"TeM":
Le radici di un'equazione non lineare, per definizione, non sono rappresentabili con espressioni algebriche, ossia in maniera precisa, con errore nullo, senza l'esigenza di troncare e/o arrotondare.

Io avrei un po' più di cautela nello scrivere certe affermazioni.
A quale definizione esattamente ti riferisci?

"TeM":Per tal motivo con opportuni metodi iterativi propri del calcolo numerico ci si accontenta di conoscere il numero "più vicino" possibile a quello "reale": è qui che scaturisce inevitabilmente l'esigenza di arrotondare e dunque l'errore necessariamente si discosterà da zero e sarà compito del ricercatore minimizzarlo con opportune tecniche.

Anche qui, la risposta è imprecisa e vaga: che significa "numero più vicino"? Il signor Hausdorff storcerebbe un po' il naso...
Inoltre, dici solo che è necessario arrotondare, ma non rispondi veramente alla domanda.

La risposta alla domanda "perché ho un errore di arrotondamento" è "perché un computer non può rappresentare un numero reale". Questo è il vero motivo. Un computer utilizza un numero finito di bit per ogni numero, che quindi è necessariamente un numero razionale. I numeri rappresentabili da un calcolatore sono un sottoinsieme di \(\mathbb Q\); quale sottoinsieme sia, dipende dall'implementazione.

L'errore di cui si parla nella definizione di velocità di convergenza non è l'errore di arrotondamento, ma l'errore di approssimazione, che è l'errore derivante dall'utilizzo di un metodo approssimato per costruire una successione convergente alla soluzione.

Le due cose sono ben diverse e si affrontano in maniera diversa.