Calcolo punti di equilibrio sistema non lineare
Buongiorno, chiedo scusa se sbaglio sezione ma ho un problema con questo esercizio.
Dato il sistema non lineare a tc
dx(t)/dt = x(t) - x^3(t)
Valutare i suoi punti di equilibrio e se ne discuta la stabilità.
Il mio problema era: solitamente con gli esercizi a disposizione avevo sempre un sistema di 2 3 equazioni. In questo caso ponevo le derivate pari a zero e trovavo i vari pt di equilibrio.
In questo caso, con questa forma, come mi comporto?
Grazie in anticipo ma mi sto approccia do da poco a questa materia.
Dato il sistema non lineare a tc
dx(t)/dt = x(t) - x^3(t)
Valutare i suoi punti di equilibrio e se ne discuta la stabilità.
Il mio problema era: solitamente con gli esercizi a disposizione avevo sempre un sistema di 2 3 equazioni. In questo caso ponevo le derivate pari a zero e trovavo i vari pt di equilibrio.
In questo caso, con questa forma, come mi comporto?
Grazie in anticipo ma mi sto approccia do da poco a questa materia.
Risposte
Quindi hai trovato i punti di equilibrio, e..?
Dico in questo caso, per trovare i punti di equilibrio, non avendo un sistema composto da varie equazioni con x1, x2, x3... le due x del mio caso, le tratto come se fossero entrambe x1 per esempio?
Perché facendo così mi troverei degli unici punti di equilibrio 0, 1, -1. Non delle matrici insomma...
Perché facendo così mi troverei degli unici punti di equilibrio 0, 1, -1. Non delle matrici insomma...
-1 e 1?
Sicuramentè starò sbagliando delle cose, ma se potresti illustrarmi il procedimento per la risoluzione di questo esercizio credo avrei più chiara la situazione in modo da capire anche dove sbaglio... ti ringrazio in anticipo in ogni caso
$1+1^3=2$
$-1+(-1)^3=-2$
Solo telefono per ora. Digito con fatica.
$-1+(-1)^3=-2$
Solo telefono per ora. Digito con fatica.
In base a cosa hai sostituito 1 e -1 ?
"Thunderbolt":
In base a cosa hai sostituito 1 e -1 ?
Li hai nominati tu! Cosa mi stai chiedendo?
Li ho messi nella formula che hai fornito tu.
io chiedevo, avendo quel sistema, dovendo valutare i punti di equilibrio e la stabilità come procedo?
Ed io chiedevo perché -1 e 1. Dato che non funzionano.
Cos'è un punto di equilibrio? Su.
Ancora solo telefono.
Cos'è un punto di equilibrio? Su.
Ancora solo telefono.
"Thunderbolt":
dx(t)/dx = x(t) + x^3(t)
un attimo... $/dx$?
Perdona avevo fatto un errore nel trascrivere la traccia, era meno e non più.
Solo telefono.
Tutto a mano senza "procedimenti", su.
I tre punti di equil. dividono il resto del mondo 1d in 4 zone. Cosa succcede in ciascuna zona?
Tutto a mano senza "procedimenti", su.
I tre punti di equil. dividono il resto del mondo 1d in 4 zone. Cosa succcede in ciascuna zona?
Se il sistema è realmente
$(dx)/(dt) = x + x^3$
il punto di equilibrio che, in generale si trova ponendo $(dx)/(dt) = 0$, è solo x=0.
Il sistema linearizzato in tale punto è
$(d Delta x)/dt = Delta x$
che ha autovalore $lambda = 1$. Poichè l'autovalore ha parte reale positiva, per il primo criterio di Lyapunov, il punto di equilibrio x=0 è instabile.
Se non si vuole usare Lyapunov basta osservare che per una perturbazione $x=epsilon$ positiva la derivata è positiva e tenderà a far aumentare sempre di più x allontanandosi da x=0 e lo stesso accade per una piccola perturbazione negativa. Per cui il punto x=0 è di equilibrio instabile.
$(dx)/(dt) = x + x^3$
il punto di equilibrio che, in generale si trova ponendo $(dx)/(dt) = 0$, è solo x=0.
Il sistema linearizzato in tale punto è
$(d Delta x)/dt = Delta x$
che ha autovalore $lambda = 1$. Poichè l'autovalore ha parte reale positiva, per il primo criterio di Lyapunov, il punto di equilibrio x=0 è instabile.
Se non si vuole usare Lyapunov basta osservare che per una perturbazione $x=epsilon$ positiva la derivata è positiva e tenderà a far aumentare sempre di più x allontanandosi da x=0 e lo stesso accade per una piccola perturbazione negativa. Per cui il punto x=0 è di equilibrio instabile.
Ed io che volevo evitare
i "procedimenti"
A mani nude no, eh?
i "procedimenti"
A mani nude no, eh?
Ciao ghira, scusa non avevo capito cosa intendevi con evitare i "procedimenti".
Ciao Ingres, ti ringrazio per la risposta molto chiara, che era quello che cercavo.
Mi aveva destabilizzato il fatto di avere una sola variabile, e solitamente gli esercizi che ho affrontato fino ad ora erano sistemi di più equazioni con più variabili (tipo x1, x2, x3) e la matrice Jacobiana veniva sempre una 2x2 o una 3x3. Quindi non sapevo se c'era qualcosa che trascuravo o qualche ipotesi da fare. Ti ringrazio.
Mi aveva destabilizzato il fatto di avere una sola variabile, e solitamente gli esercizi che ho affrontato fino ad ora erano sistemi di più equazioni con più variabili (tipo x1, x2, x3) e la matrice Jacobiana veniva sempre una 2x2 o una 3x3. Quindi non sapevo se c'era qualcosa che trascuravo o qualche ipotesi da fare. Ti ringrazio.
Ma il problema vero col -?
Ciao ghira
Se intendi $(dx)/(dt)=x-x^3$, in effetti c'è un pò di confusione. Comunque:
1) la soluzione in termini di punti di equilibrio è giustamente quella già individuata, ovvero: x=0, x=1, x=-1
2) Usando il primo criterio di Lyapunov però anche in questo caso è facile determinare la stabilità o meno di questi punti di equilibrio. In alternativa, evitando di trovare il sistema linearizzato, si può usare un ragionamento simile a quello del caso con il "+", applicato localmente al punto di equilibrio considerato e verificando i segni della derivata, che immagino fosse quello che stavi suggerendo di fare.
Inserisco qui la soluzione per chi fosse interessato
Se intendi $(dx)/(dt)=x-x^3$, in effetti c'è un pò di confusione. Comunque:
1) la soluzione in termini di punti di equilibrio è giustamente quella già individuata, ovvero: x=0, x=1, x=-1
2) Usando il primo criterio di Lyapunov però anche in questo caso è facile determinare la stabilità o meno di questi punti di equilibrio. In alternativa, evitando di trovare il sistema linearizzato, si può usare un ragionamento simile a quello del caso con il "+", applicato localmente al punto di equilibrio considerato e verificando i segni della derivata, che immagino fosse quello che stavi suggerendo di fare.
Inserisco qui la soluzione per chi fosse interessato
IO lo so fare, diamine.
Lo so bene, il post non era rivolto a te se non nella prima parte dove chiedevo se intendevi quella formulazione del problema e nella parte finale dove pensavo di aver capito che suggerivi di risolvere con il metodo del segno della derivata.
Il resto era solo per completare anche con il caso "-" per chi fosse interessato e ho messo nascosta la soluzione in modo che il post non contenesse visibili più info di quante sostanzialmente già disponibili nel resto della discussione.
Scusa se ti è sembrato che fosse una messa in dubbio del fatto che tu fossi in grado di farlo.
Il resto era solo per completare anche con il caso "-" per chi fosse interessato e ho messo nascosta la soluzione in modo che il post non contenesse visibili più info di quante sostanzialmente già disponibili nel resto della discussione.
Scusa se ti è sembrato che fosse una messa in dubbio del fatto che tu fossi in grado di farlo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo