Zeta di Riemann

[xXFedericXx]

Allora il mio professore di analisi 2 ha iniziato con la spiegazione della Zeta di Riemann solo che mi è sorto un dubbio esistenziale.
Dalla equazione funzionale
$\zeta(z)=2^z\pi^(z-1)sen(\pi/2z)\Gamma(1-z)\zeta(1-z)$
si calcolano gli zeri banali che sono p=-2k con $kinNN^+$

però la Zeta di Riemann è definita come serie di Dirichlet

$\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^z$

che per z=-2k con $kinNN^+$ non ha per somma zero, ma addirittura diverge infatti se z=-2 otteniamo

$\zeta(-2)=\sum_{n=1}^\infty n^2$ è come dire che $1+4+9+16+.......=0$ non ha senso

[gugo82]

La definizione:
\[
\zeta (z) := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}
\]
ha senso solo nel semipiano \(\operatorname{Re} z>1\).
Per definire la \(z\) nella restante parte del piano complesso si utilizzano appositi prolungamenti analitici.

[xXFedericXx]

ah ok grazie mille, mi era sfuggito che questa definizione valeva solo per $Re(z)>1$

[Zero87]

"xXFedericXx":Allora il mio professore di analisi 2 ha iniziato con la spiegazione della Zeta di Riemann solo che mi è sorto un dubbio esistenziale.

Magari lo avesse fatto anche il mio prof. di Analisi II all'epoca... però ho rimediato personalmente. Comunque la definizione della $\zeta$ come serie di Dirichlet è anche causa - passatemi il termine - di alcune sue rappresentazioni comunque interessanti come quelle tramite le formule di somma e prodotto di Eulero.

Inoltre, se ti interessa, ti segnalo qualche post passato in cui si parla in termini masticabili dell'argomento e della RH.

viewtopic.php?f=40&t=114023
(un pesce d'aprile che upperò l'anno prossimo )

viewtopic.php?f=36&t=113141
(terra terra)

Ovviamente se ne trovano anche altri e non solo su matematicamente, anche utilizzando google ci sono risultati interessanti da cui attingere per togliersi qualche curiosità.