Zeta di Riemann

[brownbetty1]

Salve a tutti. Come calcolo gli asintoti di questa funzione ?

grazie anticipatamente

[gugo82]

Fissa \(N\in \mathbb{N}\); sommando le \(N\) disuguaglianze:
\[
\frac{1}{(n+1)^x} \leq \frac{1}{x-1}\left( \frac{1}{n^{x-1}} - \frac{1}{(n+1)^{x-1}}\right) \leq \frac{1}{n^x}
\]
che si ottengono per \(n=1,2,\ldots ,N\) trovi:
\[
\sum_{n=1}^N \frac{1}{(n+1)^x} \leq \sum_{n=1}^N \frac{1}{x-1}\left( \frac{1}{n^{x-1}} - \frac{1}{(n+1)^{x-1}}\right) \leq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^x}\; ;
\]
shiftando a destra l'indice della sommatoria più a sinistra e portando \(1/(x-1)\) in evidenza al centro ottieni:
\[
\sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n^x} \leq \frac{1}{x-1}\ \Bigg( \underbrace{\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^{x-1}} - \frac{1}{(n+1)^{x-1}}}_{\text{somma telescopica}}\Bigg) \leq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^x}
\]
ossia:
\[
\tag{1}
\sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n^x} \leq \frac{1}{x-1}\left( 1 - \frac{1}{(N+1)^{x-1}}\right) \leq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^x}\; ;
\]
passando al limite le (1) per \(N\to \infty\) e tenendo presente che \(x>1\) hai infine:
\[
\zeta (x) - 1 \leq \frac{1}{x-1} \leq \zeta (x)\; ,
\]
come volevi.


P.S.: Che libro è?

[brownbetty1]

Grazie mille

[gugo82]

Semplice curiosità: non si vedono spesso queste cose sui testi di Analisi di base.
Grazie.

[brownbetty1]

Perdonami, ma non capisco come ottieni la parte centrale della tua prima disuguaglianza.

[gugo82]

Forse perché mancavano dei \(-1\) agli esponenti; ora ho corretto.
Tuttavia, il membro centrale è uguale a ciò che c'è scritto pure sul tuo testo, cioè il risultato dell'integrale \(\int_n^{n+1} \frac{1}{t^x}\ \text{d} t\).

[brownbetty1]

"gugo82":
Tuttavia, il membro centrale è uguale a ciò che c'è scritto pure sul tuo testo, cioè il risultato dell'integrale \(\int_n^{n+1} \frac{1}{t^x}\ \text{d} t\).

Si, infatti