Zeri di una funzione parametrica
salve a tutti i forumisti
mi sono iscritto per proporvi un quesito riguardo a una funzione parametrica della quale mi serve sapere gli zeri, magari con risoluzione.
la funzione in questione è: $e^(αx^2)-x^2$
grazie a tutti
mi sono iscritto per proporvi un quesito riguardo a una funzione parametrica della quale mi serve sapere gli zeri, magari con risoluzione.
la funzione in questione è: $e^(αx^2)-x^2$
grazie a tutti
Risposte
Se $a=0$ allora l'equazione (*) $e^(ax^2)-x^2=0$ diviene $1-x^2=0$ che ha le soluzioni $1,-1$.
Se $a!=0$, l'equazione (*) non si può risolvere in forma chiusa (ossia non puoi determinare esattamente un numero $c_a in RR$ tale che $e^(a*(c_a)^2)-(c_a)^2=0$); fissato $a in RR-{0}$, le soluzioni dell'equazione (*) si possono eterminare con opportuni procedimenti algoritmici iterativi (tipo Metodo di Bisezione o simili).
Tuttavia è possibile dire qualcosa in più circa l'insieme delle possibili soluzioni al variare del parametro $a$, però ho paura che dovrai aspettare domani per sapere come può essere risolta questa questione.
Buono studio giunuz.
Se $a!=0$, l'equazione (*) non si può risolvere in forma chiusa (ossia non puoi determinare esattamente un numero $c_a in RR$ tale che $e^(a*(c_a)^2)-(c_a)^2=0$); fissato $a in RR-{0}$, le soluzioni dell'equazione (*) si possono eterminare con opportuni procedimenti algoritmici iterativi (tipo Metodo di Bisezione o simili).
Tuttavia è possibile dire qualcosa in più circa l'insieme delle possibili soluzioni al variare del parametro $a$, però ho paura che dovrai aspettare domani per sapere come può essere risolta questa questione.
Buono studio giunuz.
ciao, grazie per la risposta. a me servirebbe sapere l'insieme delle soluzioni al variare del parametro $a$, magari con svolgimento...
o meglio, alla fine mi serve sapere tipo " 2 zeri per $a>1/e$ " ecc ecc.
non so se sono stato abbastanza chiaro.
grazie
o meglio, alla fine mi serve sapere tipo " 2 zeri per $a>1/e$ " ecc ecc.
non so se sono stato abbastanza chiaro.
grazie
Se $a<0$ ci sono due zeri simmetrici rispetto alle ordinate. basta tracciare i grafici della parabola $y=x^2$ e di una curva $y=e^(ax^2)$ con a negativo
Con $a>0$ ci sono più problemi perché i grafici sono quelli di due funzioni pari crescenti entrambe con minimo in $x_0=0$ e l'eponenziale tende a $oo$ più rapidamene della parabola, quindi tutto sta nel vedere come si comportano al finito e precisamente in un intervallo vicino ai due minimi. Uguagliando le due derivate e imponendo che le due funzioni avessero la stessa ordinata nel punto in cui le due derivate sono uguali ho ricavato che per $a=1/e$ le due funzioni sono tangenti in $x=+-sqrt e$, quindi:
se $0
se $a=1/e$ gli zeri sono solo due in $x=+-sqrt e$ ma sono doppi perché le funzioni sono tangenti
se $a>1/e$ non ci sono zeri
Con $a>0$ ci sono più problemi perché i grafici sono quelli di due funzioni pari crescenti entrambe con minimo in $x_0=0$ e l'eponenziale tende a $oo$ più rapidamene della parabola, quindi tutto sta nel vedere come si comportano al finito e precisamente in un intervallo vicino ai due minimi. Uguagliando le due derivate e imponendo che le due funzioni avessero la stessa ordinata nel punto in cui le due derivate sono uguali ho ricavato che per $a=1/e$ le due funzioni sono tangenti in $x=+-sqrt e$, quindi:
se $0
se $a=1/e$ gli zeri sono solo due in $x=+-sqrt e$ ma sono doppi perché le funzioni sono tangenti
se $a>1/e$ non ci sono zeri
scusami ma non capisco il punto in cui dici:
in particolare, potresti scrivermi i passaggi?
grazie
"amelia":
Uguagliando le due derivate e imponendo che le due funzioni avessero la stessa ordinata nel punto in cui le due derivate sono uguali ho ricavato che per $a=1/e$ le due funzioni sono tangenti in $x=±xsqrte$
in particolare, potresti scrivermi i passaggi?
grazie
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