$XsubseteqY => mbox{sup}{X} le mbox{sup}{Y}$

[compa90]

Buonasera, sto verificando che $XsubseteqY => mbox{sup}{X} le mbox{sup}{Y}$, con $X, Y subseteq RR$.

Pongo $L:=mbox{sup}{X}, L':=mbox{sup}{Y}$.

Si ha che $L' ge y, \quad forall y in Y$, allora $L' ge x, \quad forall x in X$, essendo $XsubseteqY$.
Dall'altra parte, per ogni $varepsilon >0$ esiste $x in X$ tale che $L-varepsilon
Va bene ?

[Mephlip]

Sì, va bene. Però, se non assumi $Y$ superiormente limitato (e quindi stai parlando dell'estremo superiore nei reali estesi), devi trattare anche il caso $+\infty$ (che è immediato, ma comunque va fatto).

Inoltre, puoi procedere più rapidamente: dato che da $L' \ge x$ per ogni $x \in X$, deduci che $L'$ è un maggiorante di $X$. Essendo per definizione $\text{sup} X=L$ il minimo dei maggioranti di $X$, per definizione di minimo è $L \le L'$.

[compa90]

Quindi, se $Y$ è superiormente limitato allora vale quanto detto; altrimenti, si ha $L':=mbox{sup}{Y}=+infty$, è vale quello che hai scritto

"Mephlip":
Inoltre, puoi procedere più rapidamente: dato che da $ L' \ge x $ per ogni $ x \in X $, deduci che $ L' $ è un maggiorante di $ X $. Essendo per definizione $ \text{sup} X=L $ il minimo dei maggioranti di $ X $, per definizione di minimo è $ L \le L' $.

cosi?

[Mephlip]

Se $Y$ è superiormente limitato vanno bene sia la tua sia la mia.

Se $Y$ non è superiormente limitato, la tua non vale più perché la caratterizzazione che hai usato è valida per l'estremo superiore in $\mathbb{R}$; però, secondo me, invece di usare la mia puoi semplicemente notare che la relazione d'ordine $\le$ nei reali estesi è per definizione tale che $t \le +\infty$ per ogni $t\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. Quindi, immediatamente, hai che $\text{sup} \ X \le +\infty =\text{sup} \ Y$ (anche nel caso in cui è anche $\text{sup} \ X=+\infty$).

[gugo82]

Se $Y$ non è superiormente limitato non c'è nulla da dimostrare, no?

[Mephlip]

Sì, infatti è più un'osservazione.