Volume solido con integrale triplo
Ciao a tutti, ho qualche problema con gli integrali doppi e tripli.
Ho un solido descritto come segue:
L'insieme $D={(x,z): 0<=x<=1, 0<=z<=(x-1)^2}$ viene fatto ruotare intorno all'asse $z$
Si può risolvere facilmente con le formule di rotazione, ma io vorrei riuscire a impostare il problema per risolvere tramite integrali tripli.
Ho quindi pensato di usare le coordinate cilindriche:
${(x = rho*cos theta),(y = rho*sin theta),(z = z):}$
con:
$0<=rho<=1$
$0<=theta<=2*pi$
$0<=z<=(rho*cos theta-1)^2$
Ma risolvendo l'integrale il risultato non è corretto. Perchè impostandolo così non viene?
Eppure il ragionamento dovrebbe essere lo stesso che vale peril cono, del quale si calcola il volume impostando $0<=z<=f(rho)$
Ho un solido descritto come segue:
L'insieme $D={(x,z): 0<=x<=1, 0<=z<=(x-1)^2}$ viene fatto ruotare intorno all'asse $z$
Si può risolvere facilmente con le formule di rotazione, ma io vorrei riuscire a impostare il problema per risolvere tramite integrali tripli.
Ho quindi pensato di usare le coordinate cilindriche:
${(x = rho*cos theta),(y = rho*sin theta),(z = z):}$
con:
$0<=rho<=1$
$0<=theta<=2*pi$
$0<=z<=(rho*cos theta-1)^2$
Ma risolvendo l'integrale il risultato non è corretto. Perchè impostandolo così non viene?
Eppure il ragionamento dovrebbe essere lo stesso che vale peril cono, del quale si calcola il volume impostando $0<=z<=f(rho)$
Risposte
Un aiutino? 
ciao blow, benvenuto nel forum. Stai attento con questi "up", non ne fare di troppo ravvicinati perché non è un comportamento bene accetto qui (vedi https://www.matematicamente.it/forum/reg ... 26457.html , punto 3.4).
Per quanto riguarda il calcolo, a una occhiata frettolosa mi pare che vada bene. Ti sei ricordato di aggiungere il determinante Jacobiano del passaggio a coordinate cilindriche ($rho$)?
Per quanto riguarda il calcolo, a una occhiata frettolosa mi pare che vada bene. Ti sei ricordato di aggiungere il determinante Jacobiano del passaggio a coordinate cilindriche ($rho$)?
Ciao, grazie per il benvenuto e per la risposta!
Allora, l'integrale che ho cercato di risolvere è questo:
$int_0^1 int _0^(2pi) int_0^((rho*cos theta-1)^2) rho dz d theta drho=5/4 pi$
I passaggi sono questi:
$int_0^1 int _0^(2pi) int_0^((rho*cos theta-1)^2) rho dz d theta drho=int_0^1 int _0^(2pi) rho^3cos^2 theta-2 rho^2 cos theta+rho d theta drho=int_0^1 rho^3pi + 2pirhodrho=5/4 pi$
Il calcolo credo sia corretto, quindi penso di aver sbagliato a impostare gli estremi di integrazione, il risultato corretto dovrebbe essere $pi/6$
Grazie ancora
Allora, l'integrale che ho cercato di risolvere è questo:
$int_0^1 int _0^(2pi) int_0^((rho*cos theta-1)^2) rho dz d theta drho=5/4 pi$
I passaggi sono questi:
$int_0^1 int _0^(2pi) int_0^((rho*cos theta-1)^2) rho dz d theta drho=int_0^1 int _0^(2pi) rho^3cos^2 theta-2 rho^2 cos theta+rho d theta drho=int_0^1 rho^3pi + 2pirhodrho=5/4 pi$
Il calcolo credo sia corretto, quindi penso di aver sbagliato a impostare gli estremi di integrazione, il risultato corretto dovrebbe essere $pi/6$
Grazie ancora
Hai sbagliato ad identificare la $f$ in coordinate cilindriche.
Infatti quando fai ruotare la curva $z=f(x)$ intorno all'asse $z$ per corstruire la superficie di rotazione, ti trovi la superficie di equazione $z=f(\sqrt(x^2+y^2))$ che, in coordinate cilindriche, diventa $f(rho)$.
Quindi è $0<=z<=f(rho)=(rho-1)^2$, e non $0<=z<=(rho cos theta-1)^2$.
Infatti quando fai ruotare la curva $z=f(x)$ intorno all'asse $z$ per corstruire la superficie di rotazione, ti trovi la superficie di equazione $z=f(\sqrt(x^2+y^2))$ che, in coordinate cilindriche, diventa $f(rho)$.
Quindi è $0<=z<=f(rho)=(rho-1)^2$, e non $0<=z<=(rho cos theta-1)^2$.
Ciao, hai ragione, diventa $0<=z<=(sqrt(x^2+y^2)-1)^2$ solo che non riesco a capire come salta fuori... riesci a spiegarmi un attimo come si arriva a questo rislutato?
Ho un altro problema, questa volta si tratta di un solido definito come segue:
$E={(x,y,z): x^2+y^2<=1-z, x^2+y^2+z^2>=1, z>=-2}$
Ho pensato anche qui di usare le coordinate cilindriche, e ho fatto così:
$rho^2<=1-z => z<=1-rho^2$
$rho^2+z^2>=1 => z>=sqrt(1-rho^2) or z<=-sqrt(1-rho^2)$
dall'ultima ricavo
$1-rho^2>=0 => rho^2<=1 => 0<=rho<=1
Ho poi impostato l'integrale così
$int_0^1 int _0^(2pi) int_-2^-sqrt(1-rho^2) rho dz d theta drho$
ma è errato, mi potete dare una mano a capire bene?
$E={(x,y,z): x^2+y^2<=1-z, x^2+y^2+z^2>=1, z>=-2}$
Ho pensato anche qui di usare le coordinate cilindriche, e ho fatto così:
$rho^2<=1-z => z<=1-rho^2$
$rho^2+z^2>=1 => z>=sqrt(1-rho^2) or z<=-sqrt(1-rho^2)$
dall'ultima ricavo
$1-rho^2>=0 => rho^2<=1 => 0<=rho<=1
Ho poi impostato l'integrale così
$int_0^1 int _0^(2pi) int_-2^-sqrt(1-rho^2) rho dz d theta drho$
ma è errato, mi potete dare una mano a capire bene?
Ci sono riuscito! mi mancava un pezzo, un altro integrale doppio infatti $rho$ è compreso fra 0 e 1 ricavandolo dalla condizione di radice, ma c'è anche:
$1-rho^2>=z$ siccome $z>=-2 => 1-rho^2>=-2 => rho^2<=3 => 0<=rho<=sqrt(3)$
Quindi $rho$ varia da $0$ a $sqrt(3)$ ma è "diviso" in due parti:
$int_0^1 int _0^(2pi) int_-2^-sqrt(1-rho^2) rho dz d theta drho + int_1^sqrt(3) int _0^(2pi) int_-2^(1-rho^2) rho dz d theta drho=10pi/3
Il risultato torna, il problema è che per ragionarci su ho dovuto fare i grafici delle funzioni, e finchè sono a casa comodo davanti al pc è facile, ma in un esame farlo a mano su un foglio diventa quasi impossibile... quindi, come sarei arrivato al medesimo risultato senza sapere come è fatto realmente il solido?
Insomma un metodo generico che vale sempre.
$1-rho^2>=z$ siccome $z>=-2 => 1-rho^2>=-2 => rho^2<=3 => 0<=rho<=sqrt(3)$
Quindi $rho$ varia da $0$ a $sqrt(3)$ ma è "diviso" in due parti:
$int_0^1 int _0^(2pi) int_-2^-sqrt(1-rho^2) rho dz d theta drho + int_1^sqrt(3) int _0^(2pi) int_-2^(1-rho^2) rho dz d theta drho=10pi/3
Il risultato torna, il problema è che per ragionarci su ho dovuto fare i grafici delle funzioni, e finchè sono a casa comodo davanti al pc è facile, ma in un esame farlo a mano su un foglio diventa quasi impossibile... quindi, come sarei arrivato al medesimo risultato senza sapere come è fatto realmente il solido?
Insomma un metodo generico che vale sempre.
Il tuo dominio le ottieni ruotando intorno a $z$ la figura disegnata sotto:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=-2;ymax=1;
axes("labels");
plot("-sqrt(1-x^2)",0,1);
plot("1-x^2",1,1.73);
plot("-2",0,1.73);
line([0,-1],[0,-2]);
text([0,1],"z",aboveleft);
text([3,0],"r", belowright);[/asvg]
quindi devi controllare bene come hai scritto gli estremi dell'integrale in coordinate cilindriche.
P.S.: Bravo, vedo che hai risolto da solo!
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=-2;ymax=1;
axes("labels");
plot("-sqrt(1-x^2)",0,1);
plot("1-x^2",1,1.73);
plot("-2",0,1.73);
line([0,-1],[0,-2]);
text([0,1],"z",aboveleft);
text([3,0],"r", belowright);[/asvg]
quindi devi controllare bene come hai scritto gli estremi dell'integrale in coordinate cilindriche.
P.S.: Bravo, vedo che hai risolto da solo!
hehe si ma il problema è che mi serve sempre la figura per ragionarci sopra, quindi se non riesco a graficare le funzione come si deve sono praticamente fermo!
Anche considerando il solido come una geometria in rotazione, non saprei poi impostare l'integrale
Anche considerando il solido come una geometria in rotazione, non saprei poi impostare l'integrale
Guarda che fare la figura è sempre la prima cosa; anzi di solito, quando si assegnano integrali di volume, la parte difficile è quasi sempre disegnare la figura.
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