Volume Solidi di rotazione
Salve!
sono nuova del forum, quindi mi scuso in anticipo per qualsiasi gaffe possa commettere
Volevo chiedere una cosa sugli integrali che servono per calcolare il volume di un solido di rotazione. So che solitamente l'integrazione si fa sulle circonferenze di raggio f(x), dove f(x) è la curva generica che ruota intorno all'asse; ma perché i conti non tornano se, invece che ragionare in questo modo, penso al volume come l'area della figura sottesa alla curva girata per 360° ?
Per cercare di essere più chiara provo a fare un esempio: il volume di un cilindro. Posso calcolarlo come integrale delle circonferenze (tutte con lo stesso raggio in questo caso) da zero a h (h=altezza del cilindro); in questo modo si ottiene la formula solita che si utilizza per calcolare il volume di un cilindro; poi ho provato a ragionare in un altro modo: se facessi ruotare un rettangolo di altezza h e base r intorno all'asse, dovrei avere comunque il volume di un cilindro di raggio r e altezza h... e invece, dai calcoli, la formula non torna!
Volevo semplicemente sapere se c'è un motivo per cui i due modi di ricavare il volume non sono uguali (e uno dei due è sbagliato - il secondo) o se ho semplicemente sbagliato i calcoli (forse riguardo gli estremi di integrazione) e continuo a farlo, imperterrita!
spero proprio che qualcuno mi illumini!
grazieee
sono nuova del forum, quindi mi scuso in anticipo per qualsiasi gaffe possa commettere
Volevo chiedere una cosa sugli integrali che servono per calcolare il volume di un solido di rotazione. So che solitamente l'integrazione si fa sulle circonferenze di raggio f(x), dove f(x) è la curva generica che ruota intorno all'asse; ma perché i conti non tornano se, invece che ragionare in questo modo, penso al volume come l'area della figura sottesa alla curva girata per 360° ?
Per cercare di essere più chiara provo a fare un esempio: il volume di un cilindro. Posso calcolarlo come integrale delle circonferenze (tutte con lo stesso raggio in questo caso) da zero a h (h=altezza del cilindro); in questo modo si ottiene la formula solita che si utilizza per calcolare il volume di un cilindro; poi ho provato a ragionare in un altro modo: se facessi ruotare un rettangolo di altezza h e base r intorno all'asse, dovrei avere comunque il volume di un cilindro di raggio r e altezza h... e invece, dai calcoli, la formula non torna!
Volevo semplicemente sapere se c'è un motivo per cui i due modi di ricavare il volume non sono uguali (e uno dei due è sbagliato - il secondo) o se ho semplicemente sbagliato i calcoli (forse riguardo gli estremi di integrazione) e continuo a farlo, imperterrita!
spero proprio che qualcuno mi illumini!
grazieee
Risposte
Il motivo si chiama Teorema di Guldino...
Per scrivere il volume di un solido di rotazione in funzione dell'area [tex]$A$[/tex] della sua sezione ottenuta con un semipiano contenente l'asse di rotazione (nel tuo caso, il semipiano [tex]$y\geq 0$[/tex]), devi moltiplicare [tex]$A$[/tex] per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro della sezione (nel tuo caso, il centro del rettangolo) intorno all'asse di rotazione.
Probabilmente il tuo calcolo fallisce perchè sbagli ad impostare l'integrale: prova a postare i passaggi.
Per scrivere il volume di un solido di rotazione in funzione dell'area [tex]$A$[/tex] della sua sezione ottenuta con un semipiano contenente l'asse di rotazione (nel tuo caso, il semipiano [tex]$y\geq 0$[/tex]), devi moltiplicare [tex]$A$[/tex] per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro della sezione (nel tuo caso, il centro del rettangolo) intorno all'asse di rotazione.
Probabilmente il tuo calcolo fallisce perchè sbagli ad impostare l'integrale: prova a postare i passaggi.
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