Volume interno al paraboloide

[xcanex]

Buon giorno a tutti ragazzi vi pongo il mio quesito :
calcolare $ int int int_(T)^()x dx dy dz $
dove T è il dominio del semispazio $ x>= 0 $ delimitato dal paraboloide $ x= y^2 + z^2 $ e dal piano $ x=1 $ .

ciò che ho tirato fuori è stato:
$ 0<=x<1 $
passando alle coordinate cilindriche con x come asse fisso :
$ { ( x=x ),( y= rsint ),( z=rcost ):} $
ottengo che:
\( -\surd x \leq r\leq \surd x \) e $ 0<=t<=2pi $
svolgendo l' integrale:
$ int_(0)^(1) int_(-x^(1/2))^(x^(1/2)) int_(0)^(2pi) x dx drdt $
ottenendo $ 2/3pi $
Ora non avendo la soluzione non so se il risultato è giusto , ma ragionando in un altro modo cioè trovando l area della parabola e facendola ruotare ottengo un risultato di $ 4/3pi $
Qualcuno mi illumini grazie

[elvis3]

Hai dimenticato che \(\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = r \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t\) e, dunque, che
\[
\int x \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \int xr \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t
\]
Inoltre, la variabile \(r = \sqrt{y^2 + z^2} \geq 0\) assume valori positivi: la condizione corretta è \(0 \leq r \leq \sqrt{x}\).

[xcanex]

grazie mille !
si la r nell'integrale l' avevo messa ma ho dimenticato di riportarla qui
ho dimenticato che il modulo è positivo ....male male