Versore Normale a una superficie
Salve a tutti,
volevo chiedere se ,data la superficie S di equazioni parametriche x=vlogu y=u z=arctg(1/u) con (u,v) appartenente ad un determinato dominio di base B, il versore normale N opposto a quello indotto dalla rappresentazione di S, si calcola semplicemente cambiando di segno gli jacobiani?
Grazie per le eventuali risposte
volevo chiedere se ,data la superficie S di equazioni parametriche x=vlogu y=u z=arctg(1/u) con (u,v) appartenente ad un determinato dominio di base B, il versore normale N opposto a quello indotto dalla rappresentazione di S, si calcola semplicemente cambiando di segno gli jacobiani?
Grazie per le eventuali risposte
Risposte
eh no, la regola è fare il prodotto vettoriale tra $\sigma_v$ e $\sigma_u$ che sono appunto le righe del jacobiano.
P.S. Immagino che questa cosa ti serva per analisi ed i flussi, quindi dopo ricordati di normalizzare il vettore risultante
P.S. Immagino che questa cosa ti serva per analisi ed i flussi, quindi dopo ricordati di normalizzare il vettore risultante
Il vettore normale indotto dalla parametrizzazione è:
[tex]$\left( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex] ossia [tex]$\left( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , -\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}, \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex]
ed il versore normale indotto dalla parametrizzazione si ottiene normalizzando quello appena scritto; il vettore opposto, invece si ottiene normalizzando il seguente:
[tex]$\left( -\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , -\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, -\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right) $[/tex] ossia [tex]$\left( - \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , \frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}, -\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex].
Quindi se con "cambiare i segni degli jacobiani" intendevi quanto ho appena riportato, tutto ok...
Ad esempio, prendiamo il piano individuato dalla coppia di vettori indipendenti [tex]$(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2) \in \mathbb{R}^3$[/tex] passante per [tex]$(x_0,y_0,z_0)$[/tex]: la parametrizzazione "standard" (quella insegnata in Geometria I, per intenderci) è:
[tex]$\begin{cases} x=x_0+a_1 u+a_2v\\ y=y_0+b_1u+b_2v\\ z=z_0+c_1u+c_2v\end{cases}$[/tex]
sicché il vettore normale indotto è:
[tex]$\left( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , \frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}, \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right) =\Big( \begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} c_1 & a_1\\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \Big) =(a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$[/tex]
(qui [tex]$\times$[/tex] è il prodotto vettoriale di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]) ed il versore normale si calcola normalizzando, quindi:
[tex]$\nu =\frac{1}{\lVert (a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)\rVert }\ (a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$[/tex]
Il versore normale [tex]$N$[/tex] opposto al [tex]$\nu$[/tex] indotto dalla parametrizzazione si ottiene evidentemente cambiando il segno di [tex]$(a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$[/tex] e normalizzando, ossia normalizzando il vettore [tex]$-\ (a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2) =(a_2,b_2,c_2) \times (a_1,b_1,c_1)$[/tex] ma è:
[tex]$(a_2,b_2,c_2) \times (a_1,b_1,c_1) = \Big( \begin{vmatrix} b_2 & c_2\\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} c_2 & a_2\\ c_1 & a_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_2 & b_2\\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} \Big)$[/tex]
e, per le note proprietà dei determinanti (scambiando di posto due righe, il determinante cambia di segno), si ha:
[tex]$(a_2,b_2,c_2) \times (a_1,b_1,c_1) =\left( -\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , -\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, -\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex].
Ne viene che per ottenere [tex]$N$[/tex] basta effettivamente cambiare i segni davanti agli jacobiani e normalizzare.
[tex]$\left( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex] ossia [tex]$\left( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , -\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}, \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex]
ed il versore normale indotto dalla parametrizzazione si ottiene normalizzando quello appena scritto; il vettore opposto, invece si ottiene normalizzando il seguente:
[tex]$\left( -\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , -\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, -\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right) $[/tex] ossia [tex]$\left( - \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , \frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}, -\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex].
Quindi se con "cambiare i segni degli jacobiani" intendevi quanto ho appena riportato, tutto ok...
Ad esempio, prendiamo il piano individuato dalla coppia di vettori indipendenti [tex]$(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2) \in \mathbb{R}^3$[/tex] passante per [tex]$(x_0,y_0,z_0)$[/tex]: la parametrizzazione "standard" (quella insegnata in Geometria I, per intenderci) è:
[tex]$\begin{cases} x=x_0+a_1 u+a_2v\\ y=y_0+b_1u+b_2v\\ z=z_0+c_1u+c_2v\end{cases}$[/tex]
sicché il vettore normale indotto è:
[tex]$\left( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , \frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}, \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right) =\Big( \begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} c_1 & a_1\\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \Big) =(a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$[/tex]
(qui [tex]$\times$[/tex] è il prodotto vettoriale di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]) ed il versore normale si calcola normalizzando, quindi:
[tex]$\nu =\frac{1}{\lVert (a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)\rVert }\ (a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$[/tex]
Il versore normale [tex]$N$[/tex] opposto al [tex]$\nu$[/tex] indotto dalla parametrizzazione si ottiene evidentemente cambiando il segno di [tex]$(a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2)$[/tex] e normalizzando, ossia normalizzando il vettore [tex]$-\ (a_1,b_1,c_1) \times (a_2,b_2,c_2) =(a_2,b_2,c_2) \times (a_1,b_1,c_1)$[/tex] ma è:
[tex]$(a_2,b_2,c_2) \times (a_1,b_1,c_1) = \Big( \begin{vmatrix} b_2 & c_2\\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} c_2 & a_2\\ c_1 & a_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_2 & b_2\\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} \Big)$[/tex]
e, per le note proprietà dei determinanti (scambiando di posto due righe, il determinante cambia di segno), si ha:
[tex]$(a_2,b_2,c_2) \times (a_1,b_1,c_1) =\left( -\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} , -\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, -\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)$[/tex].
Ne viene che per ottenere [tex]$N$[/tex] basta effettivamente cambiare i segni davanti agli jacobiani e normalizzare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo