VERIFICARE se è corretto. Lim di successione con parametro
Non sono sicuro sulla sua risoluzione. Potreste verificare se la risoluzione è corretta? Per favore. SE CI DOVESSE ESSERE UN ERRORE SCRIVETELO
Al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n-\sqrt{n^2+3}\cos\frac{1}{n}}{n^\alpha\ln((\frac{2}{\pi})\arctan n^3)} \)
io l'ho svolto così
NUMERATORE
\(\displaystyle n-n[(1+\frac{3}{n^2})^{\frac{1}{2}}\cos \frac{1}{n}] \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle n-n[(1+\frac{3}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))(1-\frac{1}{2 n^2}+o(\frac{1}{n^2}))] \)
ho fatto la moltiplicazione all'interno della parentesi quadra mettendo nell'o-piccolo potente superiori a \(\displaystyle n^2 \)
e viene \(\displaystyle n-n[1-\frac{1}{2 n^2}+\frac{3}{2 n^2}+o(\frac{1}{n^2})] \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle -\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}) \)
DENOMINATORE
\(\displaystyle n^\alpha\ln(\frac{2}{\pi} \frac{\pi}{2}-\frac{2}{\pi}\arctan \frac{1}{n^3}) \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle n^\alpha\ln(1-\frac{2}{\pi n^3}+o(\frac{1}{n^3})) \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \sim \) \(\displaystyle \frac{n^\alpha 2}{\pi n^3} = \frac{2}{\pi n^{3-\alpha}} \)
ORA METTO INSIEME NUMERATORE E DENOMINATORE
\(\displaystyle \frac{-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})}{\frac{2}{\pi n^{3-\alpha}}}= -\frac{2}{\pi} \frac{1}{n^{-\alpha+4}}\)
e per \(\displaystyle \alpha=-4 \rightarrow \lim_n = -\frac{2}{\pi} \)
per \(\displaystyle -\alpha+4>0 \rightarrow \alpha<4 \rightarrow \lim_n = 0 \)
stessa cosa per \(\displaystyle -\alpha+4<0\rightarrow \alpha>4 \rightarrow \lim_n =0 \)
Al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n-\sqrt{n^2+3}\cos\frac{1}{n}}{n^\alpha\ln((\frac{2}{\pi})\arctan n^3)} \)
io l'ho svolto così
NUMERATORE
\(\displaystyle n-n[(1+\frac{3}{n^2})^{\frac{1}{2}}\cos \frac{1}{n}] \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle n-n[(1+\frac{3}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))(1-\frac{1}{2 n^2}+o(\frac{1}{n^2}))] \)
ho fatto la moltiplicazione all'interno della parentesi quadra mettendo nell'o-piccolo potente superiori a \(\displaystyle n^2 \)
e viene \(\displaystyle n-n[1-\frac{1}{2 n^2}+\frac{3}{2 n^2}+o(\frac{1}{n^2})] \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle -\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}) \)
DENOMINATORE
\(\displaystyle n^\alpha\ln(\frac{2}{\pi} \frac{\pi}{2}-\frac{2}{\pi}\arctan \frac{1}{n^3}) \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle n^\alpha\ln(1-\frac{2}{\pi n^3}+o(\frac{1}{n^3})) \) \(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \sim \) \(\displaystyle \frac{n^\alpha 2}{\pi n^3} = \frac{2}{\pi n^{3-\alpha}} \)
ORA METTO INSIEME NUMERATORE E DENOMINATORE
\(\displaystyle \frac{-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})}{\frac{2}{\pi n^{3-\alpha}}}= -\frac{2}{\pi} \frac{1}{n^{-\alpha+4}}\)
e per \(\displaystyle \alpha=-4 \rightarrow \lim_n = -\frac{2}{\pi} \)
per \(\displaystyle -\alpha+4>0 \rightarrow \alpha<4 \rightarrow \lim_n = 0 \)
stessa cosa per \(\displaystyle -\alpha+4<0\rightarrow \alpha>4 \rightarrow \lim_n =0 \)
Risposte
Non mi è chiara una cosa: l'argomento dell'arcotangente al denominatore è $n^3$ o $n^{-3}$? Perché nella traccia hai scritto una cosa e nella risoluzione un'altra, e le due cose sono molto differenti.
perchè ho utilizzato questa uguaglianza \(\displaystyle \arctan n^2+\arctan\frac{1}{n^2} = \frac{\pi}{2} \)
e vale anche per \(\displaystyle \arctan n^3 \) vero?
e vale anche per \(\displaystyle \arctan n^3 \) vero?
Ah, ok, non avevo capito cosa avessi fatto. Si, per il resto funziona tutto.
ma ho 1 dubbio di più sul risultato finale..alla fine quando metto insieme numeratore e denominatore.. ho 1 dubbio su lì.. poi boh..magari è giusto..questo è un esercizio da un tema d'esame della mia facoltà per cui nn ho la soluzione..
forse la soluzione non è \(\displaystyle -\frac{2}{\pi} \) ma è \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \) mi è venuto questo dubbio!
Qual è la soluzione più corretta?
forse la soluzione non è \(\displaystyle -\frac{2}{\pi} \) ma è \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \) mi è venuto questo dubbio!
Qual è la soluzione più corretta?
L'ultima affermazione è sbagliata.
Se \(4-\alpha <0\) che succede?
Inoltre, anche la prima è sbagliata... Ah, le operazioni con le frazioni, queste sconosciute!
[xdom="gugo82"]@21zuclo: Passi la sollecitazione in PM... Ma ti pare normale intervenire in un altro thread, non aperto da te e non riguardante nemmeno la stessa questione, per chiedere il mio aiuto?
Ma che modi sono?
A me non solo non sembrano modi urbani, ma addirittura sembra palesemente ineducato nei confronti degli altri utenti che stanno cercando di intavolare una discussione.[/xdom]
Se \(4-\alpha <0\) che succede?
Inoltre, anche la prima è sbagliata... Ah, le operazioni con le frazioni, queste sconosciute!
[xdom="gugo82"]@21zuclo: Passi la sollecitazione in PM... Ma ti pare normale intervenire in un altro thread, non aperto da te e non riguardante nemmeno la stessa questione, per chiedere il mio aiuto?
Ma che modi sono?
A me non solo non sembrano modi urbani, ma addirittura sembra palesemente ineducato nei confronti degli altri utenti che stanno cercando di intavolare una discussione.[/xdom]
si infatti chiedo scusa gugo82 non lo farò più!.. stavo cercando di levare via la mia risposta ma non me lo fa fare!.. Cmq chiedo scusa gugo82..non lo farò più!
[xdom="gugo82"]Ho appositamente bloccato le modifiche a quel post per impedirti di cancellarlo.
Sarebbe stato troppo comodo...[/xdom]
[xdom="gugo82"]Ho appositamente bloccato le modifiche a quel post per impedirti di cancellarlo.
Sarebbe stato troppo comodo...[/xdom]
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