Verificare l'esattezza di una forma differenziale e calcolare l'integrale curvilineo

[DR34M1]

Buonasera,
avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio

Verificare che la forma differenziale
$\omega=((2*x+y)*(sqrt(x-y)))dx-((3*y)*(sqrt(x-y)))dy$

è esatta nel suo insieme di definizione, quindi calcolare il suo integrale lungo la curva $\gamma$ di parametrizzazione

$\{(x=2cost),(y=2sent):}$ per t appartenente a $(-pi/2,0)$

Inoltre avrei dei dubbi:

1) posso dire che il dominio è semplicemente connesso per $x>=y$ (condizione della radice quadrata)?
2)le derivate parziali risultano diverse, quindi non dovrebbe essere esatta?

Grazie a chi mi risponderà

[samlu]

L'insieme di definizione é giusto.Secondo te è aperto?è stellato?
Poi fai bene i conti delle derivate parziali perchè sono uguali!

[DR34M1]

"samlu":L'insieme di definizione é giusto.Secondo te è aperto?è stellato?

Dovrebbe essere stellato? Purtroppo non abbiamo fatto molte lezioni di insiemistica, anzi, quasi niente

"samlu":Poi fai bene i conti delle derivate parziali perchè sono uguali!

Potresti postarmi il procedimento, per piacere, dato che continuano a risultarmi diversamente? E avrei problemi anche a risolvere l'integrale curvilineo, dato che mi risulta un calcolo enorme, ma sicuramente sto sbagliando qualcosa di banale...

[Noisemaker]

Le derivate sono uguali... controlla bene; la forma è chiusa e cme giustamente hai sritto la curva è contenuta in un insieme semplicemetnte connesso, pertanto esatta; per il calcolo bsta quindi che cerchi una funzione Primitiva, o potenziale, $U(x,y)$ in modo che
\[\int\limits_{\gamma}\omega(x,y)=U(2,0)-U(0,-2).\]