Verificare la derivabilità con le regole di derivazione
Ciao, il libro "Esercitazioni di Matematica 1/1" degli autori Marcellini/Sbordone presenta il seguente esercizio non risolto
"Verificare, mediante le regole di derivazione, che le seguenti funzioni sono derivabili in un sottoinsieme proprio $X'$ del loro dominio $X$. Verificare poi che, per ciascuna di esse, il limite del rapporto incrementale relativo ad $x_0 \in X-X'$ (con $x_0$ punto di accumulazione per $X$) è $+\infty$".
Per esempio la prima funzione è
\[
f(x)=e^{\sqrt{x}}
\]
Il dominio è $dom f=[0, +\infty)$ ed è derivabile nell'intervallo $(0,+\infty)$. Una volta calcolata la derivata prima
\[
f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
come scelgo il sottoinsieme $X'$ e come condurre la verifica su questo sottoinsieme? Va bene $X'=(0,+\infty)$ oppure $X'=(a,b)$?
"Verificare, mediante le regole di derivazione, che le seguenti funzioni sono derivabili in un sottoinsieme proprio $X'$ del loro dominio $X$. Verificare poi che, per ciascuna di esse, il limite del rapporto incrementale relativo ad $x_0 \in X-X'$ (con $x_0$ punto di accumulazione per $X$) è $+\infty$".
Per esempio la prima funzione è
\[
f(x)=e^{\sqrt{x}}
\]
Il dominio è $dom f=[0, +\infty)$ ed è derivabile nell'intervallo $(0,+\infty)$. Una volta calcolata la derivata prima
\[
f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
come scelgo il sottoinsieme $X'$ e come condurre la verifica su questo sottoinsieme? Va bene $X'=(0,+\infty)$ oppure $X'=(a,b)$?
Risposte
Puoi scegliere $X'=(0,+\infty)$, anche perché non vedo il motivo di considerare un generico intervallo $(a,b)$. Personalmente, interpreterei $X'$ come il più grande insieme su cui vale il teorema di derivazione delle funzioni composte.
OK grazie.
Per la verifica posso affermare che è derivabile su tutto l'intervallo $X'=(0,+\infty)$ perché la funzione $f'(x)$ è continua su tutto questo intervallo e quindi per ogni $x_0\inX'$?
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)\in R
\]
Per la verifica posso affermare che è derivabile su tutto l'intervallo $X'=(0,+\infty)$ perché la funzione $f'(x)$ è continua su tutto questo intervallo e quindi per ogni $x_0\inX'$?
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)\in R
\]
No.
La continuità della derivata non c'entra nulla.
La continuità della derivata non c'entra nulla.
Aggiungo una cosa al commento di Gugo82 e diretto a tetravalenza.
Dal punto di vista logico, devi trovare $X'$ prima di usare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$f(x)=e^{\sqrt{x}}$
è la composizione delle funzioni $g(y)=e^{y}$ e $h(x)=\sqrt{x}$. La prima è derivabile ovunque, la seconda è invece continua in $[0,+\infty)$ e derivabile in $(0,+\infty)$. Il teorema di derivazione delle funzioni composte ti dice che $f(x)$ è derivabile in $(0,+\infty)$ e per ogni $x\in (0,+\infty)$ si ha che
$f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$
La verifica sulla derivabilità di $f(x)$ si appoggia proprio al teorema di derivazione delle funzioni composte, nel senso che è il teorema a dirti che $f(x)$ è certamente derivabile in $(0,+\infty)$. D'altra parte, il teorema non dà informazioni sulla derivabilità nei punti $X-X'$, per i quali è richiesto l'uso della definizione di derivata in un punto.
In realtà, puoi anche usare il teorema sulla continuità della derivata per dimostrare che la funzione non è derivabile in $x_0=0$.
Dal punto di vista logico, devi trovare $X'$ prima di usare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$f(x)=e^{\sqrt{x}}$
è la composizione delle funzioni $g(y)=e^{y}$ e $h(x)=\sqrt{x}$. La prima è derivabile ovunque, la seconda è invece continua in $[0,+\infty)$ e derivabile in $(0,+\infty)$. Il teorema di derivazione delle funzioni composte ti dice che $f(x)$ è derivabile in $(0,+\infty)$ e per ogni $x\in (0,+\infty)$ si ha che
$f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$
La verifica sulla derivabilità di $f(x)$ si appoggia proprio al teorema di derivazione delle funzioni composte, nel senso che è il teorema a dirti che $f(x)$ è certamente derivabile in $(0,+\infty)$. D'altra parte, il teorema non dà informazioni sulla derivabilità nei punti $X-X'$, per i quali è richiesto l'uso della definizione di derivata in un punto.
In realtà, puoi anche usare il teorema sulla continuità della derivata per dimostrare che la funzione non è derivabile in $x_0=0$.
OK ho capito ora.
Grazie.
Grazie.
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