Verificare che un sottoinsieme di R^2 è convesso
Salve a tutti,
vorrei un vostro aiuto per quanto riguarda alcuni esercizi in cui mi viene richiesto di verificare alcune proprietà topologiche di un dato insieme. Ad esempio:
Data la funzione $f(x,y)=y+(2x)/(y+x^2)$ determinare il suo insieme di definizione $A$ e stabilire se è connesso, a connessione lineare semplice, convesso rispetto ad un punto.
Il dominio in questo caso è tutto $R^2$ tranne la parabola di equazione $y=-x^2$ ed è un insieme aperto ed illimitato. Ora come posso verificare se esso è connesso, a connessione lineare semplice, convesso rispetto ad un punto? Per la connessione solitamente negli esercizi vedevamo se "l' insieme era costituito da un unico pezzo" (quindi in questo caso $A$ non dovrebbe essere connesso) ma non so se questo metodo è corretto o c'è bisogno di qualcosa di più rigoroso per dimostrarlo. Invece per le altre due richieste non so come dimostrarle.
vorrei un vostro aiuto per quanto riguarda alcuni esercizi in cui mi viene richiesto di verificare alcune proprietà topologiche di un dato insieme. Ad esempio:
Data la funzione $f(x,y)=y+(2x)/(y+x^2)$ determinare il suo insieme di definizione $A$ e stabilire se è connesso, a connessione lineare semplice, convesso rispetto ad un punto.
Il dominio in questo caso è tutto $R^2$ tranne la parabola di equazione $y=-x^2$ ed è un insieme aperto ed illimitato. Ora come posso verificare se esso è connesso, a connessione lineare semplice, convesso rispetto ad un punto? Per la connessione solitamente negli esercizi vedevamo se "l' insieme era costituito da un unico pezzo" (quindi in questo caso $A$ non dovrebbe essere connesso) ma non so se questo metodo è corretto o c'è bisogno di qualcosa di più rigoroso per dimostrarlo. Invece per le altre due richieste non so come dimostrarle.
Risposte
Di solito si va ad occhio. Disegna l'insieme di definizione e cerca di capirci qualcosa. Per esempio qui si vede subito che l'insieme non è nemmeno connesso perché ha due componenti connesse distinte (quali?).
"dissonance":
Di solito si va ad occhio. Disegna l'insieme di definizione e cerca di capirci qualcosa. Per esempio qui si vede subito che l'insieme non è nemmeno connesso perché ha due componenti connesse distinte (quali?).
Le due componenti connesse distinte sono quella al di sotto della parabola di equazione $y=-x^2$ e quella al di sopra di quest'ultima. Ma poi come faccio a vedere se queste due componenti sono a connessione lineare semplice? inoltre $A$ non essendo conneso può essere a connesione lineare semplice?
"phyro93":
[quote="dissonance"]Di solito si va ad occhio. Disegna l'insieme di definizione e cerca di capirci qualcosa. Per esempio qui si vede subito che l'insieme non è nemmeno connesso perché ha due componenti connesse distinte (quali?).
Le due componenti connesse distinte sono quella al di sotto della parabola di equazione $y=-x^2$ e quella al di sopra di quest'ultima. Ma poi come faccio a vedere se queste due componenti sono a connessione lineare semplice? [/quote]Uno dei due sottoinsiemi (quello "al di sopra" della parabola) è convesso, perché la funzione \(f(x)=x^2\) è convessa e quindi il suo epigrafico è convesso. L'altro invece si discute a occhio: si vede che esso NON è convesso, NON è convesso rispetto a nessun punto, ma è semplicemente connesso.
inoltre $A$ non essendo conneso può essere a connesione lineare semplice?Dipende dalle definizioni. Di solito, nella definizione di "insieme semplicemente connesso", si richiede anche che sia connesso. Quindi \(A\) non è semplicemente connesso. Ma devi controllare sul tuo riferimento per la teoria (libro e appunti).
scusate l'ignoranza, ma che vuol dire "connessione lineare semplice"?
Io l'ho interpretato come sinonimo di "semplice connessione".
"dissonance":
Io l'ho interpretato come sinonimo di "semplice connessione".
Si con connessione lineare semplice intendo semplice connessione.
allora mi sorge la curiosita': perche' questa nuova terminologia, quando "semplicemente connesso" e' standard (in tutto il mondo)?
Secondo me "lineare" allude al fatto che la semplice connessione è una proprietà riguardante le "linee" nello spazio in questione, cioè le curve chiuse. Non è molto felice come scelta, visto che oggi "lineare" è possibilmente il termine più diffuso in tutta la matematica e ha un significato completamente diverso. Immagino sia una notazione di qualche tempo fa che in alcuni ambiti è rimasta.
Non mi ci scandalizzo più di tanto, comunque. Tu poi che ti occupi di geometria degli spazi di Banach (mi sbaglio?) ne avrai viste a tonnellate di notazioni alternative più o meno bislacche: si dice ancora \(B-\)spazio, per esempio?
Non mi ci scandalizzo più di tanto, comunque. Tu poi che ti occupi di geometria degli spazi di Banach (mi sbaglio?) ne avrai viste a tonnellate di notazioni alternative più o meno bislacche: si dice ancora \(B-\)spazio, per esempio?
Guarda che ho trovato:
viewtopic.php?t=76427&p=528768
sono banalmente equivalenti? Su due piedi non credo. Per esempio, prendi il disco chiuso di raggio 1 in $\RR^2$ e togli l'origine. Mi pare che questo sia connesso semplice lineare (o come cavolo si dice) ma non semplicemente connesso. Forse per insiemi compatti sono equivalenti.
Comunque ho capito il contesto: ste cose sono utili in forme differenziali, Stokes, Green e cose simili..
P.s. Che io sappia i termini $H$-spazio e $B$-spazio sono rimasti solo nei talk, per non scrivere Hilbert e Banach e quindi risparmiare tempo. Nelle pubblicazioni non si usano (almeno per quello che vedo io). Comunque in genere le terminologie bislacche appaiono su nozioni recenti, non ancora ben digerite dai matematici, non su come di cento e rotti anni fa.
viewtopic.php?t=76427&p=528768
sono banalmente equivalenti? Su due piedi non credo. Per esempio, prendi il disco chiuso di raggio 1 in $\RR^2$ e togli l'origine. Mi pare che questo sia connesso semplice lineare (o come cavolo si dice) ma non semplicemente connesso. Forse per insiemi compatti sono equivalenti.
Comunque ho capito il contesto: ste cose sono utili in forme differenziali, Stokes, Green e cose simili..
P.s. Che io sappia i termini $H$-spazio e $B$-spazio sono rimasti solo nei talk, per non scrivere Hilbert e Banach e quindi risparmiare tempo. Nelle pubblicazioni non si usano (almeno per quello che vedo io). Comunque in genere le terminologie bislacche appaiono su nozioni recenti, non ancora ben digerite dai matematici, non su come di cento e rotti anni fa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo