Verificare che è soluzione di DPE
ciao ! devo risolvere questo esercizio:
verificare che
$ u(x,t)=1/(2c)int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi $
è soluzione dell'equazione
$u_(t t)= c^2u_(x x)$
allora ho pensato di calcolare $u_(x x )$ e $u_(t t )$ e metterle nell equazione. uso il metodo dell integrale parametrico:
$d/dxint_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi =int_(x-ct)^(x+ct)g_x(xi )d\xi + g(x+ct)-g(x-ct)$
$ d/dxint_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi =int_(x-ct)^(x+ct)g_x(xi )d\xi + int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi $
ora come si calcola la derivata seconda sempre rispetto ad x??? del secondo integrale ce l'ho già ed è proprio quella di prima, ma del primo???
verificare che
$ u(x,t)=1/(2c)int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi $
è soluzione dell'equazione
$u_(t t)= c^2u_(x x)$
allora ho pensato di calcolare $u_(x x )$ e $u_(t t )$ e metterle nell equazione. uso il metodo dell integrale parametrico:
$d/dxint_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi =int_(x-ct)^(x+ct)g_x(xi )d\xi + g(x+ct)-g(x-ct)$
$ d/dxint_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi =int_(x-ct)^(x+ct)g_x(xi )d\xi + int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi $
ora come si calcola la derivata seconda sempre rispetto ad x??? del secondo integrale ce l'ho già ed è proprio quella di prima, ma del primo???
Risposte
Per gli integrali definiti abbiamo che $\int_a^b g(\xi)d\xi=G(b)-G(a)$.
Qui $a$ e $b$ sono due funzioni di $x$.
Quindi derivando:
$d/(dx)\int_(a(x))^(b(x)) g(\xi)d\xi=g(b(x))b'(x)-g(a(x))a'(x)$
Prendiamo la tua funzione:
$ d/dx \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g(x+ct)-g(x-ct)$
$ d^2/(dx^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g'(x+ct)-g'(x-ct)$
Rispetto al tempo
$ d/dt \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = cg(x+ct)+cg(x-ct)$
$ d^2/(dt^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = c^2g'(x+ct)-c^2g'(x-ct)$
da cui
$u_(t t)= c^2 u_(x x)$
Qui $a$ e $b$ sono due funzioni di $x$.
Quindi derivando:
$d/(dx)\int_(a(x))^(b(x)) g(\xi)d\xi=g(b(x))b'(x)-g(a(x))a'(x)$
Prendiamo la tua funzione:
$ d/dx \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g(x+ct)-g(x-ct)$
$ d^2/(dx^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g'(x+ct)-g'(x-ct)$
Rispetto al tempo
$ d/dt \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = cg(x+ct)+cg(x-ct)$
$ d^2/(dt^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = c^2g'(x+ct)-c^2g'(x-ct)$
da cui
$u_(t t)= c^2 u_(x x)$
ma la formula degli integrali parametrici non è:
$ d/dtint_(a(t))^(b(t))F(y,t)dy=int_(a(t))^(b(t))F(y,t)_tdy+F(b(t),t)b'(t)-F(a(t),t)a'(t) $
nella tua risoluzione, il primo integrale del secondo membro dov'è???
$ d/dtint_(a(t))^(b(t))F(y,t)dy=int_(a(t))^(b(t))F(y,t)_tdy+F(b(t),t)b'(t)-F(a(t),t)a'(t) $
nella tua risoluzione, il primo integrale del secondo membro dov'è???
Sì, ma $g(\xi)$ mica dipende da $x$!
si, dipende sia da x sia da t. infatti come cenno alla soluzione c'è scritto di usare la formula che ho scritto sopra
Ehm, no, miry, forse ti sfugge: $\xi$ è la variabile di integrazione, quindi è indipendente dalle altre, anche se poi devi sostituirla!
Però non capisco perchè mi dice di usare quella formula a questo punto ! Oppure la devo usare specificando che il primo integrale è nullo in quanto la $g$ non dipende da $t$ ?
scusate ma con queste cose sono alle prime armi e non mi sono molto chiare !
scusate ma con queste cose sono alle prime armi e non mi sono molto chiare !
Devi usare quella formula, che è la stessa che ti hanno già scritto. Il fatto è che $\frac{d}{dx}(g(\xi))=0$. Un minimo di riflessione!
Si ma non capisco perchè non dipende da x ma da t si
Ma cosa???? $g(\xi)$ dipende solo da $\xi$, né da $x$ né da $t$. Entrambe le derivate rispetto a tale variabile fanno zero! Ti prego, accendi il cervello prima di fare un altro commento poco intelligente!
mi riferisco a queste formule:
$ d/dx \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g(x+ct)-g(x-ct)$
$ d^2/(dx^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g'(x+ct)-g'(x-ct)$
$ d/dt \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = cg(x+ct)+cg(x-ct)$
$ d^2/(dt^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = c^2g'(x+ct)-c^2g'(x-ct)$
al secondo membro g è funzione di x e t. Le derivate prime che compaiono non dovrebbero essere derivate parziali una volta rispetto ad x e una rispetto a t?
$ d/dx \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g(x+ct)-g(x-ct)$
$ d^2/(dx^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = g'(x+ct)-g'(x-ct)$
$ d/dt \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = cg(x+ct)+cg(x-ct)$
$ d^2/(dt^2) \int_(x-ct)^(x+ct)g(xi )d\xi = c^2g'(x+ct)-c^2g'(x-ct)$
al secondo membro g è funzione di x e t. Le derivate prime che compaiono non dovrebbero essere derivate parziali una volta rispetto ad x e una rispetto a t?
A secondo memebro sostituisci $\xi$ con gli estremi di integrazione. Ma dico, il Teorema di Torricelli lo conosci?
secondo membro delle derivate seconde. compare $g'$ . perchè $g'$ e non $g_x$. questa è la mia domanda.
Perché $g$ è una funzione di 1 variabile, che però è scritta come $\xi=x+ct$: ciò implica che, derivando, devi applicare la regola di derivazione delle funzioni composte:
$$\frac{d}{dx} g(x+ct)=\frac{dg}{d\xi}\cdot\frac{d\xi}{dx}=c\cdot g'(x+ct)$$
Ora è chiaro?
$$\frac{d}{dx} g(x+ct)=\frac{dg}{d\xi}\cdot\frac{d\xi}{dx}=c\cdot g'(x+ct)$$
Ora è chiaro?
Si, ora si. Grazie per la pazienza
Una curiosità: ma che stai studiando? A me ricordano tanto gli esercizi che davo al corso di Complementi di Matematica a Matera!
A me è Analisi II ! ma poiché studio ingegneria, questa parte sulle PDE l affrontiamo in maniera pratica, studiando equazioni del calore e quant'altro. Ma non è che il prof è lo stesso? Perché io studio a Potenza 
Con Sorin? Ecco perché mi sembrava di conoscerli... 
E' proprio lui ! Tu studi matematica invece?
Tu studi matematica invece?
No, io sono il suo discepolo! 
Ahahaha vale a dire? 
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