Verifica di una dimostrazione su limite di successione.
Salve a tutti; dopo aver dimostrato per l'ennesima volta che date due successioni convergenti allora il limite del prodotto delle successioni è uguale al prodotto dei limiti; ho provato a fare una verifica giusto per vedere con i miei occhi che funzionava. Non riesco a farlo uscire!
Prendo due successioni convergenti $a_n=(n+1)/n,b_n=(n+2)/n$; ovviamente entrambe convergono a 1. Per la dimostrazione so che $|(n+1)/n*(n+2)/n-1|<(M+|b|)epsilon$ dove M è uguale a 2 (Credo) $|b|=1$ ed $epsilon$ è un valore a piacere maggiore di 0. Parto ab origine: da $lim(n+1)/n=1$ si ottiene che $n>1/epsilon$ e da $lim(n+2)/n=1$ si ottiene che $n>2/epsilon$. Prendo $epsilon=0,1$; quindi dovrei avere che $|(n+1)/n*(n+2)/n-1|<0,3$ dove $n>max(1/epsilon,2/epsilon)$.
Con $epsilon=0,1$ allora dovrei avere in teoria $n>20$. Non ci sono problemi; per n>20 risulta verificata la disuguaglianza! Ma il bello è che risulta verificata anche per n<20! che va contro il fatto che $n>max(1/epsilon,2/epsilon)$! Cosa è che sbaglio?
Grazie a tutti per l'aiuto.
Prendo due successioni convergenti $a_n=(n+1)/n,b_n=(n+2)/n$; ovviamente entrambe convergono a 1. Per la dimostrazione so che $|(n+1)/n*(n+2)/n-1|<(M+|b|)epsilon$ dove M è uguale a 2 (Credo) $|b|=1$ ed $epsilon$ è un valore a piacere maggiore di 0. Parto ab origine: da $lim(n+1)/n=1$ si ottiene che $n>1/epsilon$ e da $lim(n+2)/n=1$ si ottiene che $n>2/epsilon$. Prendo $epsilon=0,1$; quindi dovrei avere che $|(n+1)/n*(n+2)/n-1|<0,3$ dove $n>max(1/epsilon,2/epsilon)$.
Con $epsilon=0,1$ allora dovrei avere in teoria $n>20$. Non ci sono problemi; per n>20 risulta verificata la disuguaglianza! Ma il bello è che risulta verificata anche per n<20! che va contro il fatto che $n>max(1/epsilon,2/epsilon)$! Cosa è che sbaglio?
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
La dimostrazione si guarda bene dal dirti che \(\nu =\max \{ 1/\varepsilon ,2/\varepsilon\}\) è il più piccolo indice dal quale in poi si ha \(|(n+1)(n+2)/n^2 -1|<\varepsilon\).
Insomma in generale l'indice \(\nu\) che determini nella dimostrazione del limite del prodotto (come tutti quelli che determini nelle altre dimostrazioni) è un'indice dal quale in poi vale una certa proprietà, ma nessuno ti assicura che tale proprietà non valga anche per indici minori di \(\nu\).
Insomma in generale l'indice \(\nu\) che determini nella dimostrazione del limite del prodotto (come tutti quelli che determini nelle altre dimostrazioni) è un'indice dal quale in poi vale una certa proprietà, ma nessuno ti assicura che tale proprietà non valga anche per indici minori di \(\nu\).
Per cui se prendo un v per cui valga la proprietà, ho la certezza che quella proprietà vale (Per due successioni generiche). Ma guardando da più vicino potrebbero esistere delle successioni (Come nel mio caso) per cui la proprietà è soddisfatta anche per degli indici v compresi tra v' e v''. Significa questo?
Grazie dell'aiuto.
Grazie dell'aiuto.
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