Verifica di un limite mediante la definizione

[_clockwise]

Buonasera, ragazzi. Avrei bisogno di un aiuto con la verifica di un limite tramite la definizione:

\( \displaystyle\lim_{x\to1} \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2} \)

Io ho fatto così. Ho impostato la disequazione \( \lvert f(x)-l\:\rvert<\epsilon \) e, ragionando nel dominio (\( x\neq-1 \)) l'ho risolta con un sistema:

\( \begin{cases}
\dfrac{1-x}{2(x+1)}<\epsilon \\
\dfrac{1-x}{2(x+1)}>-\epsilon
\end{cases} \:\:\longrightarrow\:\:
\begin{cases}
x(2\epsilon+1)>1-2\epsilon \\
x(2\epsilon-1)>-(2\epsilon+1)
\end{cases} \:\:\longrightarrow\:\:
\begin{cases}
x>\dfrac{1-2\epsilon}{2\epsilon+1} \\
x<\dfrac{2\epsilon+1}{1-2\epsilon}
\end{cases} \)

Nell'ultimo passaggio credo di aver fatto una cosa un poco azzardata. Siccome non avrei potuto impostare una doppia disuguaglianza se i versi delle due disequazioni fossero rimasti uguali, allora in forza dell'arbitrarietà di \( \epsilon \) ho considerato \( 2\epsilon-1<0 \Rightarrow \epsilon<0,5 \) in modo da poter cambiare il verso della seconda disequazione dividendo per questa quantità. E quindi ottengo

\( \dfrac{1-2\epsilon}{1+2\epsilon}
che ho verificato essere un intorno di 1, chiaramente con \( 0<\epsilon<0,5 \).
Fare questo è "legale" o avrei dovuto ragionare diversamente, magari trovando anche un'espressione per \( \delta(\epsilon) \)? Grazie in anticipo.

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Risposte

marco.ruggiero

19 ott 2020, 00:06

E' corretto, puoi supporre $epsilon$ piccolo quanto vuoi, purchè sia positivo. Per quanto riguarda l'espressione di $delta_epsilon$, questa la trovi facilmente, osservando che

$(1-2epsilon)/(2epsilon+1)=(1+2epsilon-4epsilon)/(2epsilon+1)=1-(4epsilon)/(2epsilon+1)$

e

$(2epsilon+1)/(1-2epsilon)=(1-2epsilon+4epsilon)/(1-2epsilon)=1+(4epsilon)/(1-2epsilon)$

A questo punto è sufficiente porre $delta_epsilon=min{(4epsilon)/(2epsilon+1),(4epsilon)/(1-2epsilon)}$ che come puoi facilmente verificare è uguale a $(4epsilon)/(2epsilon+1)$

Osserva che nel risolvere il sistema, hai dovuto supporre $x>--1$(cosa lecita, in quanto ragioniamo in un intorno di 1) al fine di preservare il verso di disuguaglianza delle due disequazioni.

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_clockwise

23 ott 2020, 06:30

Grazie mille!

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[marco.ruggiero]

E' corretto, puoi supporre $epsilon$ piccolo quanto vuoi, purchè sia positivo. Per quanto riguarda l'espressione di $delta_epsilon$, questa la trovi facilmente, osservando che

$(1-2epsilon)/(2epsilon+1)=(1+2epsilon-4epsilon)/(2epsilon+1)=1-(4epsilon)/(2epsilon+1)$

e

$(2epsilon+1)/(1-2epsilon)=(1-2epsilon+4epsilon)/(1-2epsilon)=1+(4epsilon)/(1-2epsilon)$

A questo punto è sufficiente porre $delta_epsilon=min{(4epsilon)/(2epsilon+1),(4epsilon)/(1-2epsilon)}$ che come puoi facilmente verificare è uguale a $(4epsilon)/(2epsilon+1)$

Osserva che nel risolvere il sistema, hai dovuto supporre $x>--1$(cosa lecita, in quanto ragioniamo in un intorno di 1) al fine di preservare il verso di disuguaglianza delle due disequazioni.

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Grazie mille!