Verifica di non esistenza del limite.

[galles90]

Buonasera,

dovrei dimostrare che il seguente limite con $age0$ non esiste, ossia

$lim_( x to + infty) x^asin(x).$

Definizione
$lim_(x to + infty) f(x)=+infty$ se e solo se $forall M >0 $, esiste $K_M>0$ tale che $f(x)>M$, per ogni $x in X, \ x >K_M$
con $f:X to RR.$

Procedo cosi; posto $f(x)=x^asin(x)$, se esistesse il limite $l$ dovrebbe essere compreso tra $(-infty, +infty)$, essendo che $f$ è prodotto di una funzione limitata tra $[-1,1]$ per una funzione illimitata.
Se considero le seguenti successioni :

$x_k=pi/2 + 2kpi, \ qquad to \ qquad f(x_k)=(x_k)^a $

$y_k=3/2pi + 2kpi,\ qquad to \ qquadf(y_k)=-(y_k)^a $

tendenti entrambi a $+ infty$.
Ne segue che in ogni intorno $U=[K_M,+ infty) $ di $+ infty$ la funzione $f$ assume infinite volte valori compresi tra $- infty$ e $+ infty$, quindi non è possibile determinare tale intorno, affinchè risulti $f>M\ forall x in X, \ x>K_M.$

Può andare bene ?

[gugo82]

Va tutto benissimo, tranne la conclusione che è scritta malissimo.
Riprova.

[galles90]

Ciao gugo82 grazie per la risposta,

Sia $U=[K_M,+ infty)$ intorno di $+ infty$, la funzione $f(x)$ assume infinitamente i valori tra $-infty$ e $+ infty$ per $x>K_M$, quindi, non è possibile determinare tale intorno, affinchè risulti:

$f(x)>M$ oppure $f(x)<-M$

per ogni $x in X, \ x >K_M.$

Come va così ?

[gugo82]

No.

È inutile invocare la definizione di limite quando puoi sfruttare il fatto che la caratterizzazione sequenziale (o Teorema Ponte, se lo chiami così) non è soddisfatta.

[galles90]

Si gugo82, lo so che si potrebbe dimostrare la non esistenza del limite tramite il teorema ponte, ma sul libro viene dimostrato con un esempio la non esistenza del limite $lim_(x to 0^+) sin(1/x)$ applicando appunto la definizione di limite.
L'esercizio che ho proposto viene subito dopo l'esempio, quindi, presumo che bisogna procedere applicando la definzione, inoltre, il teorema ponte, non è ancora stato citato.